Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 62. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 489
Problemen so gewählt, daß ein und dieselbe Extremale (0 die Anfangsbedingungen für beide Probleme befriedigt. Überdies möge die zugehörige Größe Z( endlich und von Null verschieden sein. Dann
folgt die behauptete Äquivalenz zunächst für die Bedingungen von
Weierstra/ und Legendre unmittelbar, da nach (63)
Hi = ioo H,'
- o (63a)
8(x, y; xy; x,; ) = y- 8(x, y, xp, y,; o).
Nur ist dabei zu beachten, daß einem Minimum des ersten Problems
ein Minimum oder Maximum des zweiten entspricht, je nachdem 20
positiv oder negativ ist.
Aber auch die konjugierten Punkte sind bei beiden Problemen
dieselben. Denn nach dem über die Beziehung zwischen den Differentialgleichungen der beiden Probleme Gesagten ist
f (t, a, ß, )- f (t, ~, ß, ), g (t, ß, 2) == g(t,, t ) -
Daraus folgt
i (t)= e (), ( 2(t) = (t), 3(t) = -)
Ferner ist:
V = T, also, da entlang o T: T + RV- 0,
V= -;V.
Nunmehr folgt aus (49)
D (t, t) = oD (t, ti),
womit unsere Behauptung bewiesen ist.
Der Satz wird nach Mayer das Reziprozitätsgesetz für isoperimetrische Probleme genannt.1)
~ 62. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte beim
isoperimetrischen Problem.
Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte geht - ähnlich wie die analoge Theorie von ~ 29,b) - von der Betrachtung der
Extremalenschar durch den Punkt Pt aus. Daraus ergibt sich dann
eine doppelte geometrische Deutung des konjugierten Punktes, welche
zu einer Ubertragung des Enveloppensatzes von ~ 44, c) auf isoperimetrische Probleme und mit dessen Hilfe zu einem neuen Beweis für
die Notwendigkeit der Bedingung (III) führt.
1) Hierzu die Übungsaufgabe'Nr. 10 am Ende dieses Kapitels.