Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

36 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Oder die Gleichung (47) ist eine Identität, gültig für alle Werte
von x und y:
M_, NX. (48)
Dies ist aber die bekannte Integrabilitätsbedingung1) für den Differentialausdruck
Mdx + Ndy,
d. h. sind die Funktionen M und N nebst den partiellen Ableitungen
My und N, stetig und genügen der Identität (48) in einem einfach
zusammenhängenden') Bereich eo der x, y-Ebene, so existiert eine
Funktion V(x, y), welche eindeutig und von der Klasse C' ist in o,
und für welche,=, = N; (49)
daher ist
d
fx, y, y')= -,+ Vy '= x v(x, y). (50)
Ist daher: y = y (x) irgend eine Kurve der Klasse C', welche die
beiden Punkte P, (x" yi) und P (x, y2) verbindet, und welche ganz
in e liegt, so hat das Integral Jo den Wert
J= f _ VY(x, y)dx = 1(x2, y) - V(x, y,); (51)
sein Wert ist also unabhängig vom Integrationsweg und hängt nur
von der Lage der Endpunkte ab3).
Es ist klar, daß in diesem Falle ein ~eigentliches" Extremum des
Integrals nicht stattfinden kann.
V) Vgl. Encyclopädie, II A, p. 112-114; PICARD, Traite d'Analyse, (2"" ed.)
Bd. I, p. 93; GOURSAT, Cours d'Analyse, Bd. I, p. 358. Der Beweis beruht
auf der Betrachtung des Integrals
(x, y)
fMdx~ + Ndy.
(x1, yI)
2) Darunter soll das Innere einer stetigen geschlossenen Kurve ohne vielfache Punkte, zusammen mit dieser Kurve selbst, verstanden werden (einer sogenannten ~Jordan'schen Kurve"); vgl. A VI 2.
3) Wegen der Stetigkeit der Funktion V(x, y) bleibt der Satz auch richtig
für stetige Kurven, welche sich aus einer endlichen Anzahl von Bogen der Klasse
0C zusammensetzen (Kurven der Klasse D' in der Terminologie von ~ 10, c),
wovon man sich leicht durch Zerlegung des Integrals Jo überzeugt.