Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

486 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
so gilt die folgende Relationl):
JH,w'2 + H2 = H(p'q + qv)2 - (p'qm + q'n)
d (5,)
+ [Ji(2p1 + qv)(pu + qv') + (pm + qn)q].
Man verifiziert dieselbe leicht, indem man einerseits die Werte
von o und o' einsetzt und ausmultipliziert und dann die dabei auftretenden Produkte H1u, H v mittels der Differentialgleichung (50)
eliminiert, andererseits die Differentiation nach t ausführt und von
der Relation (53) Gebrauch macht.
Wir wollen zunächst annehmen, to ließe sich so wählen, daß
D(t, to) +0 für t,t t2. (59)
Ist dann w irgend eine in [tt2] nicht identisch verschwindende zulässige2) w-Funktion, so bestimmen wir die beiden Funktionen p, q
aus den beiden Gleichungen
pui + qv = w, pn + qn ==Vwdt, (60)
t.
deren Determinante nach (59) in [tt,2] von Null verschieden ist, da
ja der Gleichung (52) entsprechend die Relation
D(t, to) = n(t, to)v(t, to) - n(t, to)u(t, to)
gilt. Hieraus und aus den Eigenschaften der Funktion w folgt, daß
die so definierten Funktionen p, q im Intervall [tt ] von der Klasse D'
sind und in t1 und t2 verschwinden, ohne identisch in [tt,] zu verschwinden. Ferner folgt aus (60) durch Differentiation
p'm + q'n = 0. (61)
Sind nun die Funktionen p und q zunächst von der Klasse C' in
[t1t2], so gilt für sie die Relation (58), durch deren Integration wir
erhalten3)
tk t2
IJ(Hwv'2+ H2w)dt =fH-,(p + q'v)2dt.
tl tl
Wegen der Voraussetzung (II') kann die rechte Seite nur dann gleich
Null sein, wenn p uq + q'v - 0 in [t1t,], was wegen (61) und (59)
1) Vgl. A. MAYER, Mathematische Annalen, Bd. XIII (1878). p. 53, und
BOLZA, Transactions of the American Mathematical Society, Bd. III
(19(2) p. 309.
2) Vgl. ~ 60, a).
3) Dies ist das Analogon der Jacobi'schen Formel (11) von ~ 10.