Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 61. Die Weierstraß'sche Theorie der konjugierten Punkte. 485.
woraus sich für D(t, tl) das folgende Resultat') ergibt:
D (t, t,) =,~[2 - 2Ch(t - t,) + (t - t) Sh(t - t)],
oder wenn wir
t-t,=- 2r.
setzen,
D)(t, t) = 4 - 420Shr (Shr - rChr).
Die Funktion Shr ist positiv für positive Werte von r, und die Funktion
cp (r) = Shr - r Ch r
ist negativ fiir alle positiven Werte von v, da
qp (0) ==0 und p' (r) ==-r Shr.
Es existiert also kein zu -P, konjugierter Punkt, und die Bedingung (III) ist stets.
erfüllt. 2)
d) Hinlänglichkeit der Bedingung: P.-< P' für ein permanentes
Zeichen von 2J: 3)
Soll ö2J> 0 sein für alle nicht identisch verschwindenden zulässigen Funktionen w, so ist, wie wir in ~ 60, a) und ~ 61, a) gesehen
haben, notwendig, daß 1/, 0 in [t1t2] und P2 - P. Es soll jetzt
die Umkehrung dazu bewiesen werden:
'Wenn für den Extremalenbogen @o die beiden Bedingungen
H,,>o in [tr], (II)
P< P2 (II')
erfüllt sind, so ist 6äJ> 0 für alle nicht identisch verschwindenden
zulässigen Funktionen w.
Es sei to irgend ein der Ungleichung4)
t' < to < t'
genügender Wert von t. Zu demselben gehören dann vier Funktionen
u =.u(t, to), v = v(t, to), m =- 'm(t, to), n = ln(t, to),
welche der Stelle to in derselben Weise zugeordnet sind wie unter b)
die Funktionen u(t,tl) usw. der Stelle t1.
Sind dann p, q irgend zwei Funktionen von t, welche im Intervall
[t1at, von der Klasse C' sind, und setzt man
Co == pu + qv,
1) Zuerst von A. MAYER gegeben, Mathematische Annalen, Bd. XIII
(1878), p. 67.
2) Hierzu weiter die Ubungsaufgaben Nr. 12-17,21 am Ende dieses Kapitels.
3) Von dem Inhalt dieses Absatzes ist nur das am Schluß gegebene Lemma~
für die späteren Entwicklungen erforderlich und auch dieses erst in ~ 64.
4) Vgl. wegen der Bezeichnung ~ 59, e).