Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 61. Die Weierstraß'sche Theorie der konjugierten Punkte. 483
genügt. Setzt man dann
w u + kcoi in [t1tl], w = kco in [tt2],
unter k eine Konstante verstanden, so ist die so definierte Funktion w
stetig in [t1 t2, ihre erste Ableitung erleidet aber einen Sprung an der
Stelle ta; ferner verschwindet w in t1 und t2 und genügt der Bedingung (13).
Wir können daher auf die zweite Variation in der ursprünglichen
Form (39) die Jacobi'sche Transformation in der modifizierten Form
von ~ 10, c) anwenden und erhalten genau wie in ~ 14, b)
t2
2 J = 2 Ek H (t) co (t) u'(t) + k`fco L(c) dt.
tI
Da der Koeffizient von k von Null verschieden ist, so folgt hieraus
in der Tat, daß wir d2J durch passende Wahl von k negativ machen
können.
Somit ist bewiesen, daß ohne Ausnahme der Satz gilt:
Fir ein Extremnum des Integrals J mit der Nebenbedingung K =1
ist weiterhin notwendig, daß
D(t,ti) + 0 fiir t, < t < t~
oder anders ausgedrückt, daß
p2 -< Po. (III)
Beispiel II (Siehe p. 465).
Aus der Gleichung (23) folgt, daß im Fall eines Maximums Z negativ sein
muß. Von den beiden in Beziehung auf die Gerade P,1 P symmetrischen Kreisbogen, welche den Anfangsbedingungen genügen, kann also nur derjenige oberhalb der x-Achse ein Maximum liefern. Für denselben dürfen wir
s
als Parameter einführen und erhalten so aus (25) für den Bogen eo die analytische Darstellung
x = c - o cos t, y - r -X sin t, tx < t <t2.
Hieraus folgt
x (t) -- - cos t, e2 (t)= - o sin t, s (t) = ^0o
Ferner
xy — yx
was sich nach (24) für die Extremale o, auf - 1/2 reduziert. Eine leichte
Rechnung ergibt dann für D (t, t) den Ausdruck:
D(t, t ) == 4 1 sin (sin v - r cos r), (57)