Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

480 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Funktion D, wenn u(t)) = 0, und das ist eben der oben ausgesprochene
Satz, da ja die Gleichung u(t) 0 die konjugierten Punkte (im
weiteren Sinn) für das Integral (43) ohne Nebenbedingung bestimmt.
Da u in t, nach (50) und ~ 11, a) nur von der ersten Ordnung verschwindet,
m und D dagegen von höhererl) Ordnung, so folgt durch Integration von (55),
t
tl
Diese Gleichung zeigt, in Übereinstimmung mit den Bemerkungen im Eingang
dieses Paragraphen, daß D += 0 für t1< t < tl; denn t[ ist nach Definition die
zunächst auf t folgende Wurzel der Gleichung u(t) == 0. Kombiniert man dieses
Resultat mit dem folgenden, leicht zu beweisenden Satz über stetige Funktionen:
"Ist die Funktion f(x) stetig in [ab], positiv in a, aber nicht in allen
Punkten von [ab], so gibt es in [ab] einen Punkt c, so daß
f(x) > 0 für aix <c, f(c) = 0",
so folgt: Wenn die Funktion D(t,t,) überhaupt im Intervall t <t < tt verschwindet, so besitzt sie stets auch einen zunächst auf t1 folgenden Nullpunkt.
c) Nachweis der Notwendigkeit der Bedingung: P2 P:
Die in Absatz a) bewiesenen Resultate machen es wahrscheinlich,2) daß das Extremum jenseits des konjugierten Punktes P. nicht
mehr bestehen kann, und in der Tat läßt sich durch eine Modifikation
der von Weierstraß3) für den analogen Zweck beim Problem ohne
Nebenbedingung angewandten Methode beweisen,4) daß man die zweite
Variation und daher auch A J negativ machen kann, wenn P -< P2.
Dazu schreiben wir den Ausdruck (45) für die zweite Variation
in der Form
t2 t2
62 J 2- 8 f w2dt + 2J w[ff(w) + iV]dt,
tl tl
1) Sind die Funktionen H1, IH, V regulär, und verschwindet V in ty von
der Ordnung k(>0), so verschwindet m in ty von der Ordnung k-t-2, D von
der Ordnung 2k + 4.
2) Vgl. die Bemerkungen bei der analogen Diskussion auf p. 62, insbesondere
Fußnote 1).
3) Vgl. p. 82, Fußnote 2).
4) Der Beweis ist zuerst von KNESER gegeben worden in der auf p. 478,
Fußnote 3) zitierten Arbeit. Nach den Mitteilungen, die HOWE und HORMANN in
ihren ebendort erwähnten Dissertationen machen, scheint es, daß WEIERSTRASS im
Besitz eines ähnlichen Beweises war; doch ist mir nicht bekannt, ob er denselben in Vorlesungen vorgetragen hat. Einen wesentlich hiervon verschiedenen,
ebenfalls von KNESER herrührenden Beweis werden wir in ~ 62 geben.