Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 61. Die Weierstraß'sche Theorie der konjugierten Punkte. 479
u = )(tt)2(t) - ^(l)(t) = u(t tl),
v Cr (t) + C 2 (t) - e,(t) = v(t, t,),
wobei die beiden Konstanten C0, C2 der Gleichung
01ei(t1) + C2 -2(t () - = 0
genügen. Die beiden Funktionen U, v genügen den Differentialgleichungen
gleichungen 0), W'(v) -= V (50)
und den Anfangsbedingungen
*(tl)=-0, v(t)= 0. (5i)
Mit Hilfe von elementaren Determinantensätzen läßt sich dann die
Funktion D(t, ta) folgendermaßen durch u und v ausdrücken:
D(t, t1) = mv -;u, (52)
wo t t
m = Vudt - m(t, t), ) n - Vv dt n(t, tl).
tl t,
Ans (50) folgt
v f(U) - f(~V) = - t (jU' - vu') = - u.
Integriert man diese Gleichung und bestimmt die Integrationskonstanten aus (51), so kommt
H (t' - vz') = - m. (53)
Differentiiert man andererseits (52) nach t, so folgt aus der Definition der Funktionen m und n, daß
D'= mv'- nu, (53a)
und daher
Du D'u = m! (54)
Wir schließen hieraus zunächst, daß die Funktion D(t,ti) in
keinem noch so kleinen Teilintervall von [tlt] identisch verschwinden
kann; denn sonst müßte dasselbe mit D' und daher auch mit m der
Fall sein, was mit der im Eingang von ~ 60 über die Funktion V
gemachten Annahme im Widerspruch steht.
Weiter folgt aber aus (54), daß
dD m2
_ dt zc -H,(55)
dt u H~1
und dies zeigt, da IH > 0, daß der Quotient D/u sein Zeichen wechselt,
wenn t durch den Wert t, hindurchgeht; dasselbe tut also auch die
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