Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

478 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Wir können somit den folgenden Satzl) aussprechen:
Soll 62J> 0 sein fir alle zulässigen, in [t1t2] nicht identisch verschwindenden Funktionen w, so muß
~i) (t), (), B (Tt)
D (t, tl)- 1(t), f2 (t), 3(t) + O
fve dt, fV dtf V dt (4
tl tl tl
sein fiür
ti < t < t2.
Indem wir mit ti die zunächst 2) auf t1 folgende Wurzel der
Gleichung D(t, t) 0
bezeichnen, können wir die Bedingung (49) auch schreiben
t2 < t,.
Der dem Wert t' auf der Extremalen o( entsprechende Punkt Pr
heißt wieder der zu P1 konjugierte Punkt.
Eine leichte Modifikation der obigen Schlußweise führt zu dem
folgenden, wenigstens scheinbar allgemeineren Resultat: Wenn
D (tt') = O
für zwei den Ungleichungen
ti < t' < t 2
genügende Werte t', t, so kann man 82J= 0 machen durch eine zulässige Funktion w.
b) Eigenschaften der Funktion D(t, ta):
Für die weitere Entwicklung haben wir den folgenden Hilfssatz3)
über die Funktion D(t, t,) nötig:
Die Funktion D(t, t1) wechselt im Punkt t ihr Zeichen, außer
wenn t, zugleich konjugierter Punkt (im weiteren Sinn) für das Integral
(43) ohne Nebenbedingung ist.
Zum Beweis bringen wir zunächst D(t, t1) auf eine für die Diskussion bequemere Form. Wir führen dazu die beiden folgenden
Funktionen eiii:
1) Satz: und Beweis nach WEIERSTRASS, Vorlesungen 1872.
2) Vgl. die Bemerkung am Ende von Absatz b).
3) Derselbe rührt von WEIERSTRASS her, siehe die Dissertationen von HOWVE,
Berlin 1887, und HORMANN, Göttingen 1887; einen Beweis hat zuerst KNESER gegeben, Mathematische Annalen, Bd. LV (1902), p. 86.