Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 61. Die Weierstraß'sche Theorie der konjugierten Punkte. 477
Die ersten beiden dieser Gleichungen werden genau so erhalten wie
die analogen Resultate in ~ 29,a). Bei Ableitung der dritten Gleichung hat man sich zu erinnern, daß die Größe A nicht nur implizite
in den Funktionen f, g vorkommt, sondern auch explizite als Faktor
von G in L-= F + A G. Die Ausführung der Differentiation nach A.ergibt daher zunächst die Gleichung
y '2F(3 (t)) + Gx - - x = o 0,
woraus dann das obige Resultat auf Grund der nach Gleichung (23)
von ~ 26 gültigen Relation
G- d Gy
Gx- ci Gx - y V
folgt.
Aus den Gleichungen (47) ergibt sich, daß die Funktion
w = c (t) + c2 (t) + 3(t) (48)
der Differentialgleichung (46) genügt, und da sie zwei willkürliche
Konstanten c1, c2 enthält, so ist sie zugleich das allgemeine Integral.
Dasselbe kann nur dann in einem Intervall [r1 2] identisch verschwinden, wenn c = 0, O 0, /c -= 0. Denn wäre w - 0, so würde
zunächst aus (46) folgen, daß t =- 0 sein muß, da V t 0 vorausgesetzt
ist; weiter würde dann ci = 0, c2 = 0 folgen, da #t(t) und O2(t) zwei
nach ~ 29, a) linear unabhängige Integrale der Differentialgleichung
q(w) = 0 sind.
Sollte es nun möglich sein, die Konstanten c1, c2,2 und einen der
Ungleichung
ti < t t2
genügenden Wert tj so zu bestimmen, daß gleichzeitig
w(t1) =1 1 (t) + c2 2 (t,) + y s (t,) = 0,
w(t) - c lä(t,) + C2 2(t[) + ^k)3(tl) 0,
t' t' 't tl
fVwdt = cve, dt + c2fV2 dt + Vt ' dt = 0,
tq t tq tq
so könnte man die zweite Variation durch eine allen Bedingungen
genügende Funktion w gleich Null machen, indem man w in [t1t ]
gleich dem Integral (48) mit diesen speziellen Werten von c~, c2, ^
setzt, dagegen identisch gleich Null in [t t2]. Daraus würde dann,
wie wir wenigstens als wahrscheinlich erwarten dürfen, folgen, daß
A J<.
B o 1 z a, Variationsrechnung. 31