Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 61. Die Weierstraß'sche Theorie der konjugierten Punkte. 475
Dann gilt der Satz1):
Die vierte notwendige Bedingung für ein starkes Mini:mum des:
Integrals J mit der Nebenbedingung K = besteht darin, daß
s (x, y; Pp, q; po) > (Iv)
entlang2) dem Extremnalenbogen (o.
~ 61. Die Weierstraß'sche Theorie der konjugierten Punkte beim
isoperimetrischen Problem.
Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt, daß, soweit es sich
um die Bedingungen (1), (II) und (IV) handelt, das vorgelegte isoperimetrische Problem äquivalent ist mit dem Problem, das Integral;f(F+2. i G)ldt (43)
t1
ohne Nebenbedingung zu einem Minimum zu machen.
Man hat lange geglaubt, daß beide Probleme überhaupt äquivalent
seien; dies ist jedoch falsch, wie zuerst LUNDSTRÖM3) gefunden hat.
Die weitere Untersuchung der zweiten Variation zeigt nämlich, daß
auch beim isoperimetrischen Problem ein konjugierter Punkt PI
existiert, über welchen hinaus ein Extremum nicht mehr stattfinden
kann; dieser Punkt fällt aber im allgemeinen nicht mit dem konjugierten Punkt für das Integral (43) ohne Nebenbedingung, den wir mit
PI bezeichnen wollen, zusammen, vielmehr ist im allgemeinen P' )>-P,
wie dies auch a priori nicht anders zu erwarten ist. Denn beim
Problem ohne Nebenbedingung muß die Ungleichung (39) für alle
Funktionen w der Klasse D' erfüllt sein, welche in t, und t4 verschwinden, beim isoperimetrischen Problem dagegen nur für diejenigen,
welche außerdem noch der Bedingung (13) genügen; daraus folgt
schon, daß sicher P >- P< sein muß.
Bei der dritten notwendigen Bedingung hört also die Aquivalenz
der beiden Probleme auf.
a) Definition der konjugierten Punkte:
Wir wenden zunächst auf das Integral (39) die Jacobi'sche Transformation von ~ 10, b) an. Ist [trI2] irgend ein Teilintervall von
1) Nach WEIERSTRASS, Vorlesungen 1879.
2) In demselben Sinn wie in ~ 30, a).
3) Vgl.,~Distinction des maxima et des minima dans un probleme isope'rimetrique", Nova acta reg. soc. sc. Upsaliensis, Ser. 3, Bd. VII (1869); vgl.
auch A. MAYER, Mathematische Annalen, Bd. XIII (1878), p. 54.