Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

474 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
sondern auch die isoperimetrische Bedingung
K14+ K43 =13 (41)
erfüllen. Dazu setzen wir die Vergleichskurven in der Form an
x = x(t) + e 1 (t) + 2 a2(t) + 3s 3 (t),
y = i(t + 8 1ll(t) + 82 2(t) + ~3 73(t),
wo ti, 1i willkürliche Funktionen von t von der Klasse C' sind, welche
in t1 verschwinden, und bestimmen nun E, e 3 E als Funktionen von E
durch die Gleichungen:
X3 + i 1 (t3) + _2 82 (t3) + 3s 3(t3) x= (t3- E)
Y3 + 81j1(t3) + 8 2 (t3) + 8 3 1(t3)= j(t3 - ),
K14 + K43 = K13
Dies ist aber nach dem Satz über implizite Funktionen stets möglich,
wenn 1( r (t
i, (t3) 2 () (t3) $
l( (t^2) %Q (t3) + 0
i KR K2 K3
wobei
7 - [GX ei + Gy1i + x + G3yi] dt.
tl
Das ist stets leicht zu erreichen; man wähle z. B., 1, so, daß
e1(t-0, () 1(t3) =, K, + 0,
was nach der im Eingang dieses Paragraphen über die Funktion V
gemachten Annahme stets möglich ist; ferner
2,(t3 = 0, t3) +, 3 (t3) + o
Nachdem so eine allen Anforderungen genügende Schar von Vergleichskurven hergestellt ist, muß für alle hinreichend kleinen positiven Werte von 8 die Ungleichung
J14 + J43> s13
stattfinden, welche man mit Rücksicht auf (41) auch schreiben kann:
(J1 + oKf14) + (J43 + 0Kf43) > J13 + o-TK13
Die weitere Behandlung dieser Ungleichung führt nun ganz wie in
~ 30, a) zu dem folgenden Resultat: Es bezeichne
8(x,y; x', '; x,y; ) =)=
H(xy,','; ) x,(x,,xy'; ) y (,y,x',y'; (42)