Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 59. Die Euler'sche Regel. 469
Diese Extremale, die wir schreiben
x = x(t), y = y(t), (30)
läßt sich dann wieder auf ein ganz bestimmtes Maximalintervall
t* < t < t*
fortsetzen.
Ist t = to der Parameter des Punktes Ao, und sind T1, T2 zwei
der Ungleichung
t* < T, < t, < T, < t
genügende Werte, so läßt sich eine positive Größe d angeben derart,
daß die folgenden Sätze gelten:
1. Ist
\ Xo - o i d |yo - bo | o - i 0o - l o, - d d,
so läßt sich auch durch den Punkt x., y, in der Richtung 0o eine
Extremale mit dem Wert.; der isoperimetrischen Konstanten konstruieren. Bedeutet insbesondere t die Bogenlänge, so können wir
diese Extremale unter Benutzung der in ~ 27, b) definierten Funktionen 3,?) schreiben:
x = X(t - to; X, yo O. Ä), y - = (t - to; x, yo 0o. 2), (31)
wobei wir im gegenwärtigen Fall noch Ä mit unter die Argumente
aufnehmen müssen. Dazu kommt dann noch für den Tangentenwinkel 0 in Punkt t die Gleichung
0 = O(t - to; x0, y0, 0o, ).
2. Für
xo =ao 2Y=b --, 0o =, = = — o
geht die Extremale (31) in die Extremale (30) über.
3. In dem Bereich
t ~ T~. x, - ao 1yo - b 4O: o de-yoi d A.- AOI=-Z (32)
sind die Funktionen
als Funktionen der Variabeln t, Xo, yo, 0o, Ä von der Klasse C'.
4. In dem Bereich (32) ist
HQ(3, Cj, ~, X),; ) +0 (33)
und
C.' D, Z +) 0 (34)
(Xo, o,Oo) 0)