Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 59. Die Euler'sche Regel. 465
Ferner ergibt sich weiter aus (17) nach ~ 48, b): In jeder Ecke
t == t einer diskontinuierlichen Lösung muß die Weierstraß3'sche
Eckenbedingung
H11 to-O- x,+~, J to+o-o_ Hflto+O (22)
erfüllt sein.
c) Das spezielle isoperimetrische Problem:
Darunter verstehen wir die folgende Aufgabe, welche der ganzen Klasse
von Aufgaben, mit der wir uns gegenwärtig beschäftigen, den Namen gegeben hat:
Beispiel II: ) Unter allen gewöhnlichen Kurven von gegebener Länge,
welche zwei gegebene Punkte P1 und P2 verbinden, diejenige zu bestimmen, welche
mit der Sehne P, P2 den größten Flächeninhalt einschließt.
Wählen wir die Verbindungsgerade von P1 und P, zur x-Achse, mit P2 P1
als positiver Richtung, so haben wir das Integral2)
J-l (ixy' yx')dt
zu einem Maximum zu machen, während das Integral
K-l/2 + y i2dt
tl
einen vorgeschriebenen Wert 21 besitzen soll, den wir größer als den Abstand
iP P I voraussetzen.
Für den Bereich ft können wir hier die ganze x, y-Ebene wählen.
Da
H= ~(xy' - yx') + /x"c + y'2
so erhalten wir
iHt 777, Y = D,3 (23)
und daher wird die Differentialgleichung (I)
1 x'y" - y''x" 1
r (8= 2\) 8 *y (24)
Dieselbe zeigt, daß X stets von Null verschieden ist, und daß die gesuchte
Kurve ein Kreis vom Radius 1t1 ist, der im Sinn3) des Uhrzeigers oder im entgegengesetzten beschrieben wird, je nachdem A > 0 oder A < 0. Man verifiziert
dies auch leicht direkt durch wirkliche Ausführung der Integration, indem man
t) Vgl. p. 3.
2) Hierdurch wird zugleich definiert, was wir unter dem fraglichen Flächeninhalt verstehen; vgl. GOURsAT, Cours d'Analyse, I, Nr. 94 und C. JORDAN, Cours
d'Analyse, I, Nr. 102, 112 und II, Nr. 129-133. Man beachte, daß das Integral J
entlang der Geraden P, P2 gleich Null ist.
3) Vgl. p. 192.