Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

464 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Die linke Seite dieser Gleichung enthält nur l, E, die rechte
nur t, l; die beiden Funktionenpaare sind voneinander vollkommen
unabhängig; daraus folgt aber, daß die isoperimetrische Konstante A
auch von der Wahl der Funktionen ~i, ra unabhängig ist (WErERSTRASS).
2. Das allgemeine Integral1) der Differentialgleichung (I) enthält
außer den beiden Integrationskonstanten noch die Konstante A:
x f(t, a,, ), y -g(t,, ) (21)
Zur Bestimmung der Konstanten a, ß, Z und der unbekannten Größen
t>, t2 haben wir - im Fall einer kontinuierlichen Lösung - außer
den vier Gleichungen, welche ausdrücken, daß die Kurve für t = t1
durch den Punkt P, für t = ' durch den Punkt P2 gehen soll, noch
die isoperimetrische Bedingung K= 1, also ebensoviele Gleichungen
als Unbekannte.
3. Neben den der Differentialgleichung (I) genügenden Lösungen
des Problems kann es dann möglicherweise noch Lösungen geben,
welche Extremalen für das Integral K sind, sogenannte "starre Lösungen",2)
was in jedem einzelnen Fall durch eine besondere Untersuchung zu
entscheiden ist. Man kann diese Lösungen unter die vorigen mit
einbegreifen, wenn man einen zweiten Faktor x einführt, der im allgemeinen Fall- 1 ist, während in diesemr Ausnahmefall x = 0, X = 1
ist, und
H=- xF+ AG
setzt.
4. Bei dem obigen Beweis der Euler'schen Regel war nicht
vorausgesetzt, daß die Kurve o0 von der Klasse C' ist; sie darf auch
eine endliche Anzahl von Ecken haben. Nur hat man dann vor
Ausführung der Differentiation nach E und sL die Integrale J(,, 1)
und K(E, E~) in bekannter Weise in Summen von Integralen zu zerlegen, die Differentiation an den Summanden auszufüh-ren und nach
der Differentiation die Integrale wieder unter einem Integralzeichen
zu vereinigen. Daraus folgt, daß auch bei einer "diskontinuierlichlen
Lösulng" die isoperimetrische Konstante A entlang allen kontinuierlichen
Segmenten ein und denselben konstanten Wert hat.3)
1) Näheres hierüber unter e); vgl. übrigens die auch hier gültigen Bemerkungen auf p. 204.
2) Vgl. p. 460, Fußnote ~).
3) Diese wichtige Bemerkung rührt von A. MAYER (Mathematische
Annalen, Bd. XIII, (1877), p. 65, Fußnote) und WEIERSTRASS her.