Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 59. Die Euler'sche Regel. 463
Jede Lösung des vorgelegten isoperimetrischen Problems, welche
nicht zugleich Extremale für das Integral K ist, muß für einen gewissen Wert der Konstanten A den Differentialgleichungen
d d
H - 0, f0 1 — -I o (18)
dt E Y H dt (18)
genügen, welche mit der einen Differentialgleichung
Hy, - ly + H (x'y" - yx") = 0 (I)
äquivalent sind.
Dabei ist die Funktion H durch die Gleichung (16) definiert,
und es ist
LH H- s'_ _ y Hg (19)/
y1 2 x'y' x
Dies ist aber dieselbe Differentialgleichung, die man erhalten
würde, wenn man das Integral
(F + G)dt (20)
ohne Nebenbedingung zu einem Extremum zu machen hätte.
Jede der Differentialgleichung (I) für einen bestimmten Wert
von X genügende Kurve soll nach KNESER wieder eine Extremale für
das vorgelegte Variationsproblem heißen.
Zu den vorangehenden Resultaten fügen wir noch die folgenden
Bemerkungen hinzu:
1. Nach der obigen Ableitung könnte es scheinen, als ob
die Konstante A. noch von der Wahl der Funktionen ~r, h abhängig wäre. Dem ist aber nicht so. Denn aus (15) folgt, wenn
auch K0 + 0,
il g0o
K Xo (=-.
p. 312, wo noch ein weiterer, von REIFF herrührender Beweis gegeben wird).
Die entsprechende Verallgemeinerung für das allgemeinste isoperimetrische
Problem bei einfachen Integralen findet man bei SCHEEFFER, ibid., Bd. XXV
(1885), p. 584 und A. MAYER, ibid., Bd. XXVI (1886), p. 78.
Die oben hervorgehobene Lücke ist typisch für die ältere Variationsrechnung. Durch den Lagrange'schen 6-Algorithmus wird die Aufmerksamkeit
auf die ersten Variationen dx, dy abgelenkt, und man vergißt dariber nur zu
leicht, daß man aus den Funktionen dx, 6y erst dann etwas schließen kann, wenn
man imstande ist, von diesen auf eine Schar von zulässigen Vergleichskurven
zurückzugehen. Erst WEIERSTRASS hat hier Klarheit in die Variationsrechnung
gebracht.
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