Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 6. Bemerkungen zur Integration der Euler'schen Differentialgleichung. 33
Die Extremalen sind also die Geraden der Ebene. Die Bestimmung der Konstanten ist eindeutig.
Ein spezieller Fall hiervon ist die Aufgabe der kürzesten Kurve zwischen
zwei gegebenen Punkten, wo
f=y/' $-Hif2
Beispiel VII1): f = +
Hier muß y auf den Bereich
t: y>O0 (oder y 0)
beschränkt werden.
Nach (41) erhält man ein erstes Integral
_ 1
und daraus das allgemeine Integral
y =V2 - (x - ). (43)
Die Extremalen sind also Halbkreise, die ihre Mittelpunkte auf der x-Achse haben.
Die Konstantenbestimmung ist eindeutig, wie geometrisch ersichtlich.
Beispiel I: (Siehe p. 1).
f-= y /+y', y O.
Nach (41) erhält man ein erstes Integral
--- - o.
Für a > 0, erhält man das allgemeine Integral 2)
y = Ch. (44)
Die Extremalen sind also Kettenlinien mit der x-Achse als Direktrix. Wegen
der Bestimmung der Konstanten verweisen wir auf ~ 13, c).
Für a — 0 erhält man: y = 0; dies ist zwar eine Lösung von (41), aber
nicht von (I)1).
') Vgl. OSGOOD, loc. cit. p. 109. Das Beispiel erscheint zuerst bei L'HOSPITAL
(Acta Eruditorum, 1697, p. 217) als Brachistochrone für ein Fallgesetz, bei
welchem die Geschwindigkeit der Höhe proportional ist.
2) Ich bediene mich für die hyperbolischen Funktionen der bequemen Bezeichnungsweise von LAISANT, Essai sur les fonctions hyperboliques.
s) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 2-12, Nr. 18, 19, und Nr. 35-40 am
Ende von Kap. III.
B o l z a, Variationsrechnung. 3