Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu Kapitel VI bis IX. 455
beiden gegebenen Punkte P, und P1 mögen im Innern von o liegen. Dann kann
man von P, und P1 aus je eine eindeutig definierte Normale P Ps, resp. P, P4
auf die Schranke ( ziehen.
Alsdann liefert der aus den Normalen Po Ps, dem Bogen P3 P4 der Schranke
und der Normalen P4P1 zusammengesetzte Kurvenzug stets ein starkes (relatives)
Minimumrz für das Aktionsintegral (46).
Andeutung: Man zeige zunächst, daß die Funktion U beständig wächst,
wenn man längs einer Normalen der Kurve ( von ( aus ins Innere des Bereiches rV fortschreitet, und wende dann den auf p. 399 angeführten Satz von
Todhunter in leichter Modifikation an.
41*. Auf einer in der Form: z = (x, y) gegebenen Fläche sind zwei
Punkte P, P2 gegeben. Die kürzeste Kurve zu bestimmen, welche auf der
Fläche von P, nach P2 gezogen werden kann, und deren Steilheit eine gewisse
Grenze k nicht übersteigt:
ds < i. (53)
Lösung: Die Lösungen setzen sich zusammen aus geodätischen Linien,
soweit sie die Bedingung (53) erfüllen, und aus "Kurven konstanter Steilheit":
dz/ds k. An den Übergangspunkten müssen auch die geodätischen Linien
die Steilheit k besitzen. (ZERMELO)
42. Einen abgestumpften Kegel von gegebener Basis und Höhe zu konstruieren, welcher in der Richtung der Achse den geringsten Widerstand erfährt (~ 54).
Lösung: Entsteht der gesuchte abge- D
stumpfte Kegel durch Rotation der Figur A B CD
um die Achse AB, und ist M der Mittelpunkt
von AB, soist MSl = MD. (SieheFig. 105.) c
(NEWTON),
43*. Ist PQ ein Kurvenbogen, dessen Ge- -,
fälle durchweg >1 ist, so erfährt die durch S A X B
Rotation des Bogens PQ Lum die x-Achse er- ig.105.
zeugte Fläche einen größeren Widerstand als die durch Rotation der gebrochenen
Linie PRQ erzeugte, wobei PR parallel der y-Achse ist und RP das Gefälle i
hat (~ 54).
Andeutung: Zerlege den Bogen PQ in Elemente, wende auf dieselben
den vorangehenden Satz an und gehe zur Grenze über. (NEWTON, ELLIS)
44. Der Widerstand einer Halbkugel ist gleich der Hälfte des Widerstandes eines Zylinders von derselben Basis und Höhe, wenn beide sich in der
Richtung der Achse bewegen (~ 54). (NEWTON)
Wie groß ist der Widerstand des Rotationskörpers kleinsten Widerstandes
von derselben Basis und Höhe?
Anwort: 0,3748 des Widerstandes des Zylinders.