Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu Kapitel VI bis IX. 451
b) Jeder Punkt im Innern des Kreisringes
1 1 2 < r -< /\
ist eine mögliche Ecke für diskontinuierliche l1iinimallösungen; die zugehörigen
Richtungspaare werden durch die Gleichungen
r i ___ — 0
(1 + r) /i + r2 sin25p\4 X
bestimmt. Der Winkel P, PoP, wird dabei von dem Radius Vektor OP, vom
Koordinatenanfangspunkt aus halbiert.
Auf einer gegebenen Geraden, welche in diesen Kreisring eintritt, sind die
möglichen Ecken gerade die beiden oben mit M und N bezeichneten Punkte.1)
c) Jeder Punkt außerhalb des Kreises: r = /1-5 ist eine mögliche Ecke für
diskontinuierliche Maximiallösungen. Die zugehörigen Richtungspaare werden
durch die Gleichungen
/r__ sinp 4 i
bestimmt. Die beiden Stücke P, P, und PP, dei diskontinuierlichen Lösung
sind, verlängert, die Tangenten vom Punkt Po an den Kreis =- /i5\. Es liegt
hier der Fall Sz(x, y) — 0 von ~ 50, d) vor; die beiden Scharen von Tangenten
an den Kreis r == /15\ sind die dort definierten beiden ausgezeichneten Extremalenscharen. Enthllt die gebrochene Linie P PoP2 keinen Berührungspunkt
mit dem Kreis r = 1/5\, so hat man ein starkes, uneigentliches Maximum.
(CARATHEODORY, DRESDEN)
30*. Die beiden notwendigen Bedingungen
EO -o< P1,, P P1
für diskontimnierliche Lösungen (~49, c)) mittels des Extremalenintegrals herzuleiten. (DRESDEN)
31'. Es sind zwei Punkte P, und P2 im Innern der oberen Halbebene gegeben (yl > 0, y2 > 0). Es soll ein P~unkt Po der oberen Halbebene (y > 0) und
ein Punkt Ps der x-Achse so gezwihlt und drei gewöhnliche K~urven Po P, Po Pa,
P, Ps in der oberen Halbebene (y > 0) so gezogen werden, daß die durch lotation
der aus diesen drei Bogen zusammengesetzten Kurve um die x-Achse erzeugte
Fläche einen möglichst kleinen Inhalt besitzt2) (~~ 48-50).
Lösung: Die Bogen Po P, resp. Po)P, sind Bogen von zwei Kettenlinien
o, resp. o, mit der x-Achse als Direktrix; der Bogen PoPs ist eine zur x-Achse
senkrechte Gerade; die letztere bildet im Punkt Po mit jedem der beiden Kettenlinienbogen einen Winkel von 120.
1) Vgl. den Satz von CARATHEODORY auf p. 387.
2) Bei dem Plateau'schen Versuch mit zwei kreisförmigen Drähten bildet
sich bei geeigneter Anordnung des Versuches die hier vorliegende zusammengesetzte diskontinuierliche Lösung.