Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

450 Ubungsaufgaben zu Kapitel VI bis IX.
Lösung: Wenn das Gefälle der Verbindungsgeraden P/ P2 zwischen 0 und
- 1 liegt, gibt es zwei diskontinuierliche Lösungen mit je ein er Ecke, bestehend
aus zwei geraden Segmenten vom Gefälle 0 und - 1, beziehungsweise - 1 und 0.
Dagegen gibt es unendlich viele Lösungen mit mehr als einer Ecke; sie setzen
sich ebenfalls aus geraden Segmenten zusammen, die abwechselnd das GefäIle
0 und - 1 haben.
28'*. Für das Problem der Kurve kleinsten Trägheitsmoments in Beziehung
auf einen Punkt (Aufgabe 17 von p. 299) die diskontinuierlichen Lösungen zu
bestimmen.
Lösung: Wenn 02 -- 0 < -, so existiert keine diskontinuierliche
Lösung.
Wenn!0 — 0 | -,1 so liefert der aus den beiden geraden Segmenten
P P, und Po P, zusammengesetzte Kurvenzug das absolute Minimum. (MASON)
29*. Das Integral
Jf { i/(/ x/ + )- 2xyx'y' + yr2(x+ -) 1/ x'y + '2 }d, — 1 + - x'2- yS — dt
zu einem Extremum zu machen; insbesoundere sollen auch die diskontinuierlichen
Lösungen bestimmt werden.
a) Die Extremalen sind gerade Linien. Führe Polarkoordinaten ein:
x == r cos ~p, y == r sin rp und setze: 0 - (p ==- p, unter 0 den Tangentenwinkel
der betrachteten Kurve verstanden. Dann wird
F(x, y, cosy, sin 0) -= V r+r sins1p, 1
1 -+r2 4
1 1
F, (x, y, cos 0, sin 0) — -
(1+ r sins 2)
Hieraus die Indikatrix für die verschiedenen Lagen des Punktes x, y zu bestimmen. An derselben liest man zunächst für kontinuierliche Lösungen folgende
Resultate ab: Sei p die Länge der Senkrechten vom Koordinatenanfangspunkt 0
auf die betrachtete Gerade. Dann liefert die Gerade stets ein starkes Maximum,
wenn: p > >/15\, stets ein schwaches Maximum, wenn: }2 - 1 <p<1/l,
1/ S -- \
stets ein Minimum, wenn: p <1 2~-, wobei jedoch zwei Fälle zu unterscheiden sind: Sind M und N die beiden Schnittpunkte der Geraden mit
dem Kreis
4
s t B u ) r -r M
so ist die Bedingung (IV') für ein starkes Minimum erfüillt für die Punkte der
Geraden zwischen M und V; dagegen ist die Bedingung (IV) nicht erfüillt für die
Punkte der Geraden außerhalb des Segmentes MrN.