Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

448 Ubungsaufgaben zu Kapitel VI bis IX.
die Eigenschaft, daß ihre Tangente im Punkt P den Winkel zwischen der
Geraden BPP und der Verlängerung der Geraden BPP halbiert; dagegen halbierIt
die Tangente der Kurve
B PP - PP2 == konst. (43)
im Punkt P den Winkel der beiden Geraden PP1 und PP2.
Die beiden Kurvenscharen (42) und (43) sind orthogonal. Schrumpfen
die beiden Kurven Si, S zu Punkten zusammen, so erhiilt man bekannte Sätze
über Ellipse und Hyperbel (~ 37; vgl. Aufgabe Nr. 14).
17. Den vorangehenden Satz einerseits auf geodätische Linien zu verallgemeinern (DAnBoux; geodätische Ellipsen und Hyperbeln), andererseits auf das
Variationsproblem, für welches
-,== G (x, y)y x' + y.
18. Ist 0 irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung
G (ao)2 (c )(( \2
= - EG- F21, (44)
EG- F
so stellt die Gleichung
0 (u, v) konst.
eine Schar von,Parallelkurven" der Fläche dar, für welche das Linienelement
gegeben ist durch: ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gfdv. Umgekehrt läßt sich jede
Schar von Parallelkurven in dieser Form darstellen (~ 20, b), ~ 31 e), ~ 43).
(DARBoÜX)
19. Kennt man eine Lösung der partiellen Differentialgleichung (44),
welche eine nicht additive Konstante P enthält, so ist das allgemeine Integral
der Differentialgleichung der geodätischen Linien gegeben durch
Bei festgehaltenem ß sind die beiden Kurven scharen 0 =konst. und eO/la
= konst. orthogonal (~ 20, d), ~ 81, c), ~ 43). (DARBi6ux)
20*. Verallgemeinerung des Begriffs des Winkels: Es sei A A, ein Bogen
einer Transversalen t der vom Punkt 0 (xo, yo) ausgehenden Extremalenschar, und
OA, 0OA1 die beiden nach A, und AÄ führenden Extremalen dieser Schar.
Ferner bezeichne
r= J0 (OA) = J1 (0o ),
und es werde vorausgesetzt, daß
F (Xo, yo, cosy, siny) > 0
für jedes y. Alsdann definiert BLISS den Grenzwert
r=0