Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu Kapitel VI bis IX.
1. Für Beispiel XVII: F= ----, die Transversalitätsbedingung aufzustellen (~ 36).
Lösung:
y, sin2 0 (- sin 2 01 cos 01 + (2 + cos 2 0l) sin 0) = 0.
(KNESER)
2. Für Beispiel XIII: F = G (x, y)/ 1'+ y'\ die Transversalitätsbedingung
mittels der Indikatrix abzuleiten (~ 36).
3. Für Beispiel XIV:
F= (xy' - yx) -:/X + y2\:
a) Die Transversalitätsbedinigung aufzustellen. Elementargeometrische Konstruktion von 01, wenn x1, Yi, 0 gegeben sind (~ 36).
b) Zu der ExtremalenschIar durch den Koordinatenanfangspunkt 0 die Transversalen.schar zu bestimmnen (~~ 31, 44).
Lösung: Die Schar konzentrischer Kreise mit dem Mittelpunkt 0.
c) Die Kurve S schneide die Extremale (to im Punkt P1 transversal: den
Brennpunt,7kt der Kurve!S auf der Extremalen, (o zu bestimmen, sowohl nach der
Formel (47) von ~ 39 als mittels der Extremalenschar, welche von S transversal
geschnitten wird (~ 40).
Lösung: Sind 01, 0l die Tangentenwinkel von 0o, beziehungsweise ü im
Punkt P", 1 der Krümmungsradius von S in P1, D1 der Abstand des Punktes P1
vom Koordinatenanfangspunkt 0, y die Amplitude des Vektors OP1, so lautet
die Gleichung zur Bestimmung des Tangentenwinkels 07 von (~o im Brennpunkt PI':
2ri sin (01 - Ö0) sin2 (01 - Ö0) + sin (0' - 0,) (D sin (0t - y) - 21R) = 0.
Wenn insbesondere r =- oo, so ist die Tangente an (o in P' parallel der Tangente an S im Punkt P,.
4. Fiür das Aktionsintegral1)
8 2\ //dX(\ / dy\
die Bedingung zur Besti.mmulng des Punktes Po aufzustellen, wenn der Anfangspunkt P0 auf einer gegebenen Kurve St beweglich, der Endpunkt P1 fest ist (~ 36, b))1) Vgl Aufgabe 9, p. 296.