Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 58. Ein Satz von Darboux iber das absolute Extremunm. 443
(außer wenn P/ mit einer der auf der großen Achse der Ellipse gelegenen
Spitzenl) P4 und P4 der Evolute ~ zusammenfällt).
Zwischen dem Punkt P2 der Ellipse und dem Krümmungsmittelpunkt P~
existiert nun (abgesehen von dem eben erwähnten Ausnahmefall) stets ein Punkt
Pf", von dem aus außerer r Normalen P'> P noch eine zweite, mit ihr gleichlange Normale P2>P, an die Ellipse gezogen werden kann, nämlich der Schnittpunkt der Normalen im Punkt P2 mit der großen Achse der Ellipse.
Liegt dann der Punkt P, zwischen P/' und P, oder jenseits des Punktes
P>, so liefert die Normale PP>2, und nur sie, das absolute Minimum; fällt P,
mit P>' zusammen, so liefern die gleichlangen'Normalen P"'P2 und P~'P, beide
das absolute Minimum; liegt P, zwischen P" und P', so liefert die Normale P, P2
noch das relative, aber nicht mehr das absolute Minimum; von P2' an hört auch
das relative Minimum auf.
Die Kurve (i ist also hier das Segment P4P4 der großen Achse; dasselbe
ist in der Tat (zusammen mit dem entsprechenden Segment P5,P der kleinen
Achse) der geometrische Ort der im endlichen gelegenen Doppelpunkte der
Parallelkurven2) der Ellipse, welche im gegenwärtigen Fall an die Stelle der
Transversalenschar (38) tritt.
1) Diese Spitzen sind nämlich gerade von der ausgeschlossenen Art; in
diesem Ausnahmefall, welcher eintritt, wenn der Punkt P> auf der großen Achse
der Ellipse liegt, gelten auch in der Tat die Darboux'schen Sätze nicht mehr.
2) Vgl. z. B. LORIA, Spezielle algebraische utnd transzendente Kurven, (1902)
p. 648.