Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

442 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum.
Kurve y von dem Bogen PP ' der Extremalen ( verschieden sein,
womit unsere Behauptung bewiesen ist.
Bestimmt man auf jeder vom Punkt P1 ausgehenden Extremalen
den Punkt Pl', so ist der geometrische Ort des Punktes Po' eine
Kurvel), die wir mit (5 bezeichnen, und die für das absolute Extremum dieselbe Rolle spielt, wie die Enveloppe z für das relative.
Liegt die oben mit, bezeichnete Kurve ganz im Innern des Bereiches 9q, so besteht sie aus einem einzigen, von P1 nach P' führenden Extremalenbogen. Wegen der Voraussetzung B) können wir
sowohl auf t als auf ( den Integralwert u als Parameter einführen
und beide Kurven in der Normalform (188) von ~ 33, c) darstellen:
x= p [u, a0, y= [u, aJ, O u c,
u: x =p[u, a], y = 4[6, aj, O u < c,
wobei c den für beide Kurven gemeinsamen Integralwert im Punkt P,'
bedeutet, während a1 + ao. Im Punkt Po' ist dann
p [c, a = p[c, aa, = p[c, a,, -= [c, ao].
Diese Gleichungen sagen aber aus, daß der PunMkt Po' ein Doppelpunkt
der Transversalen
x =- p[c, a], y = l[c, a], O <a< < 2 (38)
der Extremalenschar durch den Punkt P, ist.
Die vorangehenden allgemeinen Sätze werden durch die in ~ 57, e) für die Rotationsfläche
~~~5 ~ kleinsten Inhalts erhaltenen Resultate bestätigt.
Noch einfacher ist das folgende Beispiel 2),
=~2\-^ / welches zugleich zeigt, daß analoge Sätze auch
für Probleme mit variabeln Endpunkten gelten:
/ / \ 1./ Die küirzeste Kurve von einem gegebenen
|_ 2-^. ~ / H ^ l Punkt P1 nach einer gegebenen Ellipse zu ziehen.
4'\ { ia, \< Die gesuchte Kurve ist nach ~ 40 eine
von P1 auf die Ellipse gefällte Normale P1 P2.
3 Ist P' der zum Punkt P, gehörige Krümmungsmittelpunkt der Ellipse, so liefert die Normale
'/ ~~P1 PP)2 ein relatives Minimum, wenn der Punkt P1
auf derselben Seite des Punktes P. liegt wie
der Punkt P2. Dagegen hört das relative MiniFig. 104. mum auf, wenn P2 mit P zusammenfällt
1) ZERMELO, loc. cit. p. 185, nennt diese Kurve für den Fall der geodätischen
Linien die "Doppelabstandskurve".
2) Vgl. DARBOUX, loc. cit., p. 91.