Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 58. Ein Satz von Darboux über das absolute Extremum. 439
J (P, ) ~1, und kj P <,
so erteilt der aus der Kurve Q und dem Bogen P P2 der Kurve e-1
zusammengesetzte Weg dem Integral J einen kleineren Wert als der
Extremalenbogen PP2; letzterer liefert f
also sicher kein absolutes Minimum.
DARBOUX schließt dann weiter (wenigstens für den speziellen Fall der geodätischen Linien), daß es zwischen P1 und P9d 1 ~
einen ganz bestimmten Punkt PE geben ig 102.
muß 1), derart daß der Extremalenbogen P, P, für P -< P2 -< P' das.absolute Minimum liefert, dagegen nicht mehr für P-< P2.
Um eine feste Grundlage für den Beweis zu haben, nehmen wir
an, daß für das betrachtete Variationsproblem die Voraussetzungen
A), B), C) und D') von ~ 55 erfüllt sind, und daß der Bogen P Pj
der Extremalen ( ganz im Innern des Bereiches qo liegt.
Wir wählen den Punkt P, beliebig auf dem Extremalenbogen:P1[P und betrachten in der Bezeichnung von ~ 57 die Differenz
J (Pl2) - i(P1P2). (32)
'Sind t, t, t[ die Parameter der Punkte P1, P2, P1 auf der Extremalen e, so ist die Differenz (32) eine im Intervall t,1 t2 < t' eindeutig definierte Funktion von 4, die wir mit f(t.) bezeichnen. Nach
~ 57, a) ist dieselbe in dem angegebenen Intervall stetig und nach
der Definition des Zeichens i(PP,2) ist überdies
f'(t) = 0 für t, t, = t<. (33)
Ist t4 hinreichend nahe bei t1, so ist f(t2) = 0, weil dann nach ~ 33, a)
und c) der Extremalenbogen Pt Ps das absolute Minimum des Integrals J liefert; ebenso ist wegen (16): f(t1) = 0.
Andererseits ist nach der über den konjugierten Punkt PP[ gemachten Annahme
f(t) > O.
Es sei jetzt ti' die untere Grenze derjenigen Werte von t, im Intervall [t t'?], für welche f(t) > 0. Dann folgt aus der Stetigkeit von
f(t2), daß f(t') = 0, sodaß also wegen (33)
f(t2) = 0 für t, t,: t'[. (34)
Dagegen ist
'()_ > 0 für t' < t ti. (35)
1) Wegen der Bedeutung des Zeichens -< siehe p. 190.