Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

438 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum.
Integral J denselben Wert erteilt, wie die diskontinuierliche von Pl nach Pi'
führende Lösung.
Der Ort der Punke Pi' ist eine Kurve b, welche eine ähnliche Gestalt
hat wie die Kurve ~, und welche den Bereich I in zwei
( R Teile I' und I" zerlegt (siehe Fig. 101). Liegt der Punkt P2
| ' im Innern von I', so liefert die Kettenlinie den kleineren
i Wert; liegt der Punkt P2 auf der Kurve (M, so liefern beide
1 Lösungen denselben Wert; liegt der Punkt P2 im Innern
It I ' des Bereiches I", so liefert die diskontinuierliche Lösung
den kleineren Wert../'/ Somit erhalten wir folgendes Schlußresultat:
// / T Liegt der Punkt P2 im Innern des Bereiches 1', so
i./,' liefert die Kettenlinie, und nur sie, das absolute Minimum.
1 i.,' Liegt der Punkt P2 auf der Kurve (, so liefern die./ '1 Kettenlinie und die diskontinuierliche Lösung beide das ab> / H solute /Minimum.
^*~~~~/,I Für jede andere Lage des Punktes P2 liefert
die diskontinuierliche Lösung, und nur sie, das abFig. 101. solute Minimum.
~ 58. Ein Satz von Darboux über das absolute Extremum.
Wenn längs einer vom Punkt P1 ausgehenden Extremalen E
die Bedingungen (II') und (IV') von ~ 32, b) erfüllt sind, so wird
ein Bogen P1P2 dieser Extremalen ein starkes relatives Minimum für
das Integral J liefern, solange der Punkt P2 zwischen P1 und dem
zu P, konjugierten Punkt PI liegt; das relative Minimum wird dagegen aufhören (abgesehen von den beiden in ~ 47, c) angeführten
Ausnahmefällen), wenn der Punkt P2 mit P< zusammenfällt.
Aus der Beziehung zwischen dem relativen und dem absoluten
Extremum folgt daher a priori, daß das absolute Extremum spätestens
im Punkt P1 aufhören muß. DARBOUX1) hat nun aber gezeigt, daß
das absolute Minimum stets schon vor dem relativen aufhört, wenn die
eben erwähnten Ausnahmefälle ausgeschlossen werden.
Denn da wir voraussetzen, daß der Extremalenbogen P1 P' schon
kein relatives Minimum mehr liefert, so können wir eine benachbarte,
von P, nach P' führende Kurve ( angeben, für welche die Differenz
J,(P1 P) - J,(-Pl ) = k
einen positiven Wert hat. Wählen wir dann den Punkt P2 zwischen
PI und P[ so nahe bei Po', daß zugleich2)
1) Theorie des surfaces, Bd. III (1894), p. 89; vgl. auch ZERMELO, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, Bd. XI (1902), p. 184.
2) Wegen der Bezeichnung -~1 vgl. ~ 25, b).