Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

436 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum.
Wir erwähnen noch folgenden Zusatz zum Existenztheorem:
Ist der Bereich SQ beschriinkt, perfekt, zusammenhängend und
extremal-konvex'), so besteht die lilbert'schze Kurve A aus einem einzigen Extremalenbogen.
Zunächst folgt nämlich aus Gleichung (184b) von ~ 33, daß in
diesem Fall die Voraussetzung D') erfüllt ist, wobei die kürzeste
Extremale von P' nach P" an Stelle der Kurve R tritt. Sodann
gelten die obigen Schlüsse nunmehr für jeden Bogen H jH-2 der
Kurve e, mag derselbe Punkte der Begrenzung von 9o enthalten
oder nicht, wofern nur die beiden Punkte 1H, H2 hinreichend nahe
beieinander gewählt werden. Denn unter unserer gegenwärtigen Voraussetzung liegt die kürzeste Extremale von lH nach HI dann stets ganz
im Bereich q0. Daraus folgt, daß die dort für den Bogen AÄB,, abgeleiteten Resultate jetzt für die Kurve e in ihrer ganzen Ausdehnung
gelten.
Beispiel I: (Vgl. pp. 1, 33, 79, 398).
Wir wollen schließlich noch das Hilbert'sche Existenztheorem auf die
Frage des absoluten Minimums bei dem Problem der Rotationsfläche kleinsten
Inhalts anwenden. Es handelt sich darum, das Integral
- t2
^J-fjyV'x2 + yY\ dt
zu einem absoluten Minimum zu machen in Beziehung auf die Gesamtheit aller
gewöhnlichen Kurven, welche in dem Bereich: y > 0 von P, nach P2 gezogen
werden können.
Wenn es überhaupt eine Kurve gibt, welche ein absolutes Minimum fir
das Integral J liefert, so muß dieselbe a fortiori auch ein relatives Minimum
liefern. Nun haben wir aber früher2) das Problem des relativen Minimums vollständig gelöst: dasselbe hat je nach der Lage des Punktes P, entweder eine
einzige Lösung, nämlich die Goldschmidt'sche diskontinuierliche Lösung S,
oder aber zwei Lösungen, nämlich die diskontinuierliche Lösung! und außerdem noch eine Kettenlinie o mit der x-Achse als Direktrix, welche den zu PL
konjugierten Punkt nicht enthält. Sobald wir also beweisen können, daß ein
absolutes Minimum überhaupt existiert, so folgt im ersten Fall unmittelbar, daß
dasselbe von der Kurve S geliefert wird, während im zweiten Fall die Lösung
diejenige unter den beiden Kurven eo und k sein muß, welche den kleineren
Wert für das Integral J liefert.
Wir können nun zwar das Hilbert'sche Existenztheorem in der Formulierung von ~ 55 nicht direkt auf unser Beispiel anwenden, da unsere Voraussetzungen im Bereich 9l nicht erfüllt sind. Dagegen führt die folgende von
MARY E. SINCLAIR3) herrührende Überlegung zum Ziel:
1) Nach der Definition von ~ 33, b). 2) Vgl. p. 399.
8) Vgl. Annals of Mathematics (2), Bd. IX, (1908) p. 151.