Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

434 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum.
Innern, resp. auf der Begrenzung des Bereiches 9o0 liegen. Aus der
Stetigkeit der Kurve e folgt dann, daß jeder Punkt u von 3 zugleich
ein innerer Punkt der Menge g7 ist, mit Ausnahme von t = 0 und
t =, falls diese Punkte überhaupt zu 7 gehören sollten. Daher läßt
sich ein den Punkt u in seinem Innern enthaltendes Teilintervall [a ß]
von [01] bestimmen, derart daß alle inneren Punkte des Intervalls
[ac] zu 3 gehören, während die Endpunkte a, ß zu 1Q gehören, außer
falls dieselben etwa mit 0 oder 1 zusammenfallen sollten. Die Menge
7 besteht daher aus einer endlichen oder unendlichen Menge solcher
offenen Intervalle, die sich nicht gegenseitig überdecken. Nach einem
Satz von CANTOR1) ist die Menge dieser Intervalle abzählbar, so
daß wir sie mit
{[, v]} -, 2=,,...
bezeichnen dürfen.
Wir haben jetzt zu beweisen, daß jedem solchen Intervall [aCoßV
auf der Kurve e ein einziger Extremalenbogen A B, entspricht,
welcher, abgesehen von den Endpunkten, ganz im Innern des Bereiches R, verläuft.
Sei in der Tat to ein Wert von t zwischen u und P,, und Eo
der entsprechende Punkt der Kurve 5; derselbe liegt dann im Innern
von 9t,; daher können wir eine Umgebung (d) des Punktes Ho angeben, welche ganz in jo liegt. Ferner gehört zum Bereich f9 eine
wie in ~ 34, b) definierte positive Größe r; es sei 6 die kleinere der
beiden Größen d 2 Dann können wir wegen der Stetigkeit der
Kurve Q rechts und links von t zwei Werte r2 und lr so nahe bei t
annehmen, daß der dem Intervall [rr2] von t entsprechende Bogen
H,1-2 der Kurve Q ganz im Innern des Kreises (Ho, a) liegt.
Da alsdann H1,H' < 26 < r0, so können wir von H, nach S2
eine "kürzeste" Extremale ( ziehen; dieselbe ist von der Klasse C"',
besitzt keine mehrfachen Punkte2) und liegt ganz im Innern des
Kreises (/1, 26). Sie liegt daher auch a fortiori im Innern des
Kreises (Ho, 4 ), also sicher auch im Kreis (Ho, d) und somit ganz
im Bereich 9o, woraus folgt, daß
Je (1 H2,) >i(J-Hi,).
Andererseits ist der Bogen H l H1 der Kurve j von der Klasse3) K,
er liegt im Innern des Kreises (1So, a) und daher a fortiori im Innern
von (H, 2 6), somit auch im Innern des Kreises (H, ro). Angenommen
dieser Bogen enthielte mindestens einen Punkt, welcher nicht auf dem
1) Mathematische Annalen, Bd. XX (1882), p. 118.
2) Vgl. Satz I von ~ 33. 3) Vgl. ~ 35, b).