Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 57. Beweis des Hilbert'schen Existenztheorems. 429
Da der Bereich 3o konvex sein sollte, so dürfen wir die Ungleichung (14) auf die Gerade') P'P" anwenden und erhalten so die
weitere Ungleichung
i(P'P") <MI P'Pf 1, (17)
aus welcher unmittelbar folgt, daß
L i(P'P)= O. (18)
p" = p'
Aus den beiden charakteristischen Eigenschaften der unteren
Grenze folgt weiter, daß für irgend drei Punkte P, P', P" des Bereiches,Q die Ungleichung gilt
i(PP') + i(P'P") (PP"), (19)
die sich sofort auf eine beliebige Anzahl von Punkten ausdehnen läßt.
Die untere Grenze i(P'P") ist überdies eine stetige Funktion der
Koordinaten der beiden Punkte P',P". Denn aus (19) folgt für je
zwei Punktepaare P', P" und Q', Q" von S die Ungleichung
- i(P'Q') - i(Q"P") i(Q' Q") - i (P'P") i (Q'P') + i(P" 9"),
aus welcher nach (18) unsere Behauptung unmittelbar folgt, wenn
wir Q' gegen P' und Q" gegen P" konvergieren lassen.
b) Konstruktion der Hilbert'schen Kurve:
Wir betrachten jetzt die Gesamtheit 1LX(AA2) aller rektifizierbaren Kurven, welche in iQ von A, nach A2 gezogen werden können,
und bezeichnen die untere Grenze der zugehörigen Integralwerte mit K:
i(A A,) ==K.
Dann gibt es entweder unter den Kurven von 'TD(AA2) eine,
welche dei Integral J den Wert K erteilt, in welchem Fall unsere
Behauptung bewiesen ist, oder aber wir können eine unendliche Folge
von Kurven
CT~:. (^1...:aus der Menge Ti'(A1A2) herausgreifen derart, daß die zugehörigen
Werte des Integrals J, die wir mit
bezeichnen, für v = oo gegen K konvergieren2):
vo = (O
L J=-K (20)
Alsdann erfüllt die Kurvenfolge {(~} die Bedingungen des Hilfs1) Vgl. Fußnote 2) auf p. 428.
) 4Vgl. A I 4. Die Größe K ist Häufungspunkt der Menge der Integralwerte.
B o l z a, Variationsrechnung. 28