Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

30 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
d) Anwendung des Du Bois-Reymond'schen Lemmas:
Wir wenden jetzt das Du Bois-Reymond'sche Lemma auf die
Gleichung (31) an, was gestattet ist, da die Funktion
x
x=dx
nach unsern Annahmen über die Kurve ( und die Funktion f (siehe
~ 3, a) und ~ 4, Anfang) stetig') ist in [xlxj].
Wir schließen daher, daß
yi -J dx = -A
x
sein muß, wo 2 eine Konstante bedeutet; hieraus folgt
x
f= -+ fty dx. (34)
x.
Die rechte Seite dieser Gleichung ist differentiierbar2) und ihre Ableitung ist fy; also muß auch die linke Seite, d. h. die Funktion
fy (x, y(x), y ()) - fy [x]
differentiierbar sein, und überdies ist
-a~ f --, fy (35)
Hiermit erst ist der erste Fundamentalsatz vollständig bewiesen,
nämlich, daß jede F1unktion y der Klasse C', welche das Integral J zu
einem Extremum macht, und welche durch eine ganz im Innern von
9t gelegene Kurve dargestellt wird, der Euler'schen Differentialgleichung
genügen muß - einerlei ob sie eine zweite Ableitung besitzt oder
nicht.3) -
HILBERT4) hat hieran die wichtige Bemerkung geknüpft, daß
aus der Differentiierbarkeit von fy, die Existenz der zweiten Ableitung y"
1) Nach A III 4 und A V 4. 2) Nach A V 4.
8) HAHN ist neuerdings in dieser Richtung noch einen Schritt weiter gegangen und hat bewiesen, daß jede rektifizierbare Kurve, welche in jedem Punkt
eine bestimmte Tangente besitzt, der EuLER'schen Differentialgleichung genügen
muß, wenn sie ein Minimum fir das Integral J liefert (Mathematische
Annalen, Bd. 63 (1906), p. 254). Dabei muß allerdings zunächst die Definition
des bestimmten Integrals erweitert werden, vgl. Kap. IX. Über sogenannte diskontinuierliche Lösungen, siehe Kap. VIII.
4) Vgl. WHITTEMORE, ]OC. cit.