Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

424 Neuntes Kapitel. Das absolute Extremum.
heraus und betrachten zunächst die Menge der dem Wert t == auf
den verschiedenen Kurven Z entsprechenden Punkte:
{P (ri) }- (6)
Dieselbe ist nach dem vorigen beschränkt und besitzt daher mindestens
einen Häufungspunkt, den wir mit H(Tr) bezeichnen. Wir können
dann aus {(} eine unendliche Folge von Kurven
q,: (~,..,..
herausgreifen, sodaß 1)
L P(r) = 1f(r1),
X= oo
indem wir mit Pl(r1) den dem Wert t= sr entsprechenden Punkt
der Kurve Lg bezeichnen. Der Punkt H(rl) ist dann zugleich der
einzige2) Häufungspunkt der Menge
P( (r,) A-l, 2,.... (7)
Jetzt betrachten wir weiter die Punktmenge
{ Pi () }; = 1, 2,... (6 a)
Sei H(zr) einer ihrer Häufungspunkte und {P (r2)}, =, 2,...
eine in (6a) enthaltene unendliche Teilfolge, für welche
L P (r,)=J (r,).
Wir schreiben (2 statt ~( und P2 statt P' und erhalten so eine
y 2h,(< ft A..
zweite, in 9lR1 enthaltene, unendliche Kurvenfolge
91t2:.i, ~|,
für welche
L P(r2) l(,r2).
Lt = o
Zugleich ist aber auch
L p2(T) _ H().,(/ = t0
Denn da die Punktmenge {P2 ()} r) {P, (lr)} in der Menge (7) enthalten ist, so ist jeder ihrer Häufungspunkte, deren sie mindestens
einen besitzt, zugleich Häufungspunkt der Menge (7); diese hat aber
1) Nach A I 4. Wegen der Bezeichnung vgl. p. 156, Fußnote 2).
2) Nach dem leicht zu beweisenden Lemma: "Ist die unendliche Folge
{ a, konvergent und 1 ihre Grenze, so ist 1 der einzige Häufungspunkt der
Menge {al}; umgekehrt: Ist {a,} eine abzählbare, beschränkte lineare Punktmenge, welche nur einen einzigen Häufungspunkt 1 besitzt, so ist die unendliche
Folge {a, } konvergent und 1 ihre Grenze."