Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Neuntes Kapitel.
Das absolute Extremum.
~ 55. Einleitende Bemerkungen.
Wir haben bei der Definition des absoluten und relativen Extremums in ~ 3 gesehen, daß das Problem des absoluten Extremums
sich auf dasjenige des relativen reduzieren läßt, insofern eine Kurve,
welche für ein bestimmtes Integral in Beziehung auf eine gegebene
Mlannigfaltigkeit von zulässigen Kurven ein absolutes Extremum liefert,
allemal auch ein relatives liefert. Kennt man also alle Lösungen des
relativen Problems, und kann man a priori die Existenz eines
absoluten Extremums beweisen, so ist mit dem relativen Problem
- wenigstens wenn dasselbe nur eine endliche Anzahl von Lösungen
besitzt -, zugleich auch das absolute gelöst. Kann man dagegen
einen solchen Existenzbeweis nicht führen, so bleibt das absolute
Problem ungelöst, selbst wenn man das relative vollständig gelöst hat.
Daher die fundamentale Wichtigkeit der Aufgabe: Für ein gegebenes Variationsproblem a priori die Existenz oder Nichtexistenz
eines absoluten Extremums nachzuweisen. In älterer Zeit hat man
geglaubt, aus der bloßen Existenz einer endlichen unteren Grenze für
die Integralwerte ohne weiteres auf die Existenz eines absoluten Extremums schließen zu dürfen. So ist z. B. das berühmte Dirichlet'sche Prinzip gerade auf den Schluß basiert, daß das Doppelintegral
J= J -) + (- j dx dy
notwendig ein Minimum besitzen müsse, weil sein Wert stets > 0 ist.
WEIERSTRASS hat zuerst gezeigt, daß der Schluß falsch ist, da
derselbe auf einer Verwechslung von unterer Grenze und Minimum
beruht, und hat zugleich ein Beispieli) angegeben, welches die Unhaltbarkeit der Dirichlet'schen Schlußweise drastisch illustriert. Es ist
die Aufgabe, das Integral +
J=J 2 xy'dx
EIERTRAS, -erke, Bd., p. 4
1) WEIERSTRASS, TYerke, Bd. II, p. 49.