Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 54. Der Rotationskörper kleinsten Widerstandes. 415
Die letzte Bedingung, analytisch ausgedrückt, lautet
aX(l) + b 0,
woraus folgt
b = - aX(l)= - a.
Tragen wir diesen Wert in (70) ein und schreiben der Übereinstimmung mit unserer sonstigen Bezeichnung halber t statt q, so erhalten wir für die Schar von Newton'schen Kurven, welche die
y-Achse unter einem Winkel von 450 schneiden, den Ausdruck
x = a[t2 + - - log t - - (t, a( ),
a(l +t)2 (, * (74)
y - t ~ (t,a)
In diesen beiden Gleichungen haben wir x, y durch x2 y2 zu ersetzen
und dann nach t und a aufzulösen. Durch Division der beiden Gleichungen erhalten wir zunächst zur Bestimmung von t die Gleichung
2, + -- tIlogt - (t); (75)
y2 (1 + t2)2
nun ist
X (t) - y(t + t2 + + log t]
stets positiv für t-> 1, und
X(1)-0, z(+ )-= + 00.
Daraus folgt, daß die Gleichung (75) eine und nur eine Wurzel t > 1
besitzt. Ist dieselbe gefunden, so erhält man a aus der Gleichung
a (1 + t2)2
Y2 t
Somit geht durch jeden Punkt P2 im Innern des ersten Quadranten
eine und nur eine New ton'sche Kurve, welche mit der positiven y-Achse
einen Winkel von 450 bildet, und daher können wir vom Koordinatenanfangspunkt P, nach jedem Punkt P, im Innern des ersten Quadranten
einen und nur einen Kurvenzug PoP1P, der verlangten Art ziehen.
e) Hinlänglichkeitsbeweis:1)
Das vorangehende Resultat zeigt zugleich, daß die Extremalen
der Schar (74) bei Beschränkung der Variabeln t und a auf den
Bereich
tBereich t 1, a > 0 (76)
ein Feld bilden, welches den ersten Quadranten
x>0, y>O (77)
1) Zuerst von KNESER gegeben, loc. cit. p. 274.
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