Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 54. Der Rotationskörper kleinsten Widerstandes. 413
Wir haben nun zu untersuchen, welche Kombinationen dieser
drei Bogenarten, die wir der Reihe nach mit.N, X, Y bezeichnen,
möglich sind, und welche Bedingungen in den Ubergangspunkten erfüllt sein müssen. In einem solchen Übergangspunkt sind folgende
sieben Fälle möglich: N'1"7; NX, XN; NY, YN; XY, YX.
1. N'N": Ein Punkt P1, in dem zwei verschiedene Newton'sche
Kurven aneinanderstoßen, ist frei variierbar, da für beide Bogen die
Ungleichungen (66) erfüllt sind. Man kann also direkt die Schlüsse,
die zur Weierstraß'schen Eckenbedingung (2) führen, anwenden. Da
F,(x, y, cos y, sin y) -2y sin y(3 cos1y - sin2y)
für keinen Wert von y zwischen 0 und -- verschwindet, so folgt aus
~ 48, c), Zusatz I, unter Berücksichtigung der Bedingung (73), daß
dieser Fall unmöglich ist.
2. NX und XN: Ein Punkt P1, in welchem ein Newton'scher
Bogen und ein Segment x = konst. aneinander stoßen, ist zwar in der
Richtung der y-Achse frei variierbar, nicht aber in der Richtung der
x-Achse wegen der Bedingung x' > 0. Da, wie man leicht verifiziert,
auch die Gerade x = konst. der Euler'schen Differentialgleichung genügt, so muß die Weierstraß'sche Eckenbedingung, soweit sie sich:auf eine Variation in der Richtung der y-Achse bezieht, erfüllt sein;
es muß also im Punkt P1
- -F
sein; das führt auf die Bedingung
y(3q2 + 1)
(1 + q,)2- Y
aus welcher folgt
q = 1.
Für die Kombination NX kann diese Bedingung nie erfüllt sein,
da hier im Punkt P1 notwendig q > 1 sein muß. Wohl aber ist die
Kombination XN möglich, d. h. ein gerades Segment parallel der
y-Achse, an welches sich ein N e w ton'scher Bogen unter einem Winkel
von 450 gegen die positive y-Achse anschließt.
3. N Y und YN: Die analoge Schlußweise zeigt, daß hier die
Bedingung +
fix, = Fx,
erfüllt sein muß, was auf einen Widerspruch führt.
4. X Yund YX: Daß auch diese Kombinationen unmöglich sind,
zeigt man durch Abschrägen der Ecken (siehe Fig. 96). Denn bildet
B o l z a, Variationsrechnung. 2 7