Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

412 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
für alle Werte von 0 im Intervall
0 < 0- < -,
und zwar nur für diese, da auch die Vergleichskurve, mit deren Hilfe
die Weierstraß'sche Bedingung abgeleitet wird (vgl. p. 241), der Be-,dingung (65) genügen muß. Daraus folgt aber, daß
0 <-0 (73):sein muß, d. h.i)
qr > 1. ((73 a)
Einen Bogen einer Kurve (69), (70), für welchen q > 1, werden
wir in der Folge kurz einen Newton'schen Bogen nennen.
c) Bestimmung des Winkels an der Stirnfläche:
Wir zeigen jetzt weiter, daß ein Bogen der Minimumskurve von
<der Klasse C', welcher nicht in seiner ganzen Ausdehnung der Bedingung (66) genügt, entweder ein Segment einer Geraden x konst.,
oder aber einer Geraden y = konst. sein muß.
Denn angenommen der Bogen, der dem Intervall a < t < [ entsprechen möge, enthielte einen Punkt t, in welchem x' y > 0, so folgt
nach ~ 2, a) und A III 2, daß es ein in [ocß] enthaltenes Intervall
i[Ca''] geben muß, derart daß x'y'> für a'< t<ß', dagegen x'y' 0
für t-= ', außer wenn a' = a und x'y' =0 für t==', außer wenn ß'=.
Nach dem unter b) bewiesenen muß also der betrachtete Bogen für
' < t < ß' der Differentialgleichung (67) mit einem positiven Wert,der Konstanten a genügen. Indem man dann t gegen a' resp. ß' konvergieren läßt, zeigt man, daß x'y' weder in ca' noch ß' verschwinden
<kann, daß also a' == a, ß' = ß sein muß, und x'y' > 0 im ganzen
Intervall [aß], was mit unserer Annahme im Widerspruch steht.
Somit muß x'y' - 0 sein in c[P]. Nunmehr zeigt man durch
Anwendung derselben Sehlußweise auf den Faktor x', daß entweder
x' = 0 in [alß] oder y' - 0 in [cß], wobei man noch davon Gebrauch
zu machen hat, daß bei einer gewöhnlichen Kurve x' und y' nie
gleichzeitig verschwinden.
Die Minimumskurve, falls eine solche überhaupt existiert, muß
sich also aus einer endlichen Anzahl von Stücken zusammensetzen,
von denen jedes einzelne ein Newton'scher Kurvenbogen, oder ein
Segment einer Geraden x = konst. oder ein Segment einer Geraden
y = konst. ist.
1) Diese Bedingung findet sich wohl zuerst explicite bei WALTON, Quarterly Journal, Bd. X (1870), p. 344, implicite jedoch schon bei NEWTON, loc.
<eit., vgl. Ubungsaufgcbe Nr. 43 am Ende von Kap. IX.