Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

410 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
und der Gefillbeschränkung
x'>0, y'^0 o ü r t t t, (65)
genügen.
b) Die Newton'sche Kurve:
Wir betrachten zunächst einen Bogen der Minimumskurve von
der Klasse C, für welchen
x' > O, y'> 0. (66)
Bei Anwendung der Schlüsse von ~ 26, a) auf einen solchen Bogen
folgt aus der Gefällbeschränkung (65) keine weitere Einschränkung
der dort mit t, N bezeichneten Funktionen; der Bogen muß daher der
Euler'schen Differentialgleichung genügenl), woraus sich sofort das
erste Integral2) ergibt,3,
yy x'
(x'2 y'~ a, (67)
wobei a eine Konstante bedeutet, welche wegen (64) und (66) positiv
sein muß.
Zur weiteren Integration ) der Differentialgleichung (67) setzen wir
-= cotg o, (68)
unter 0 den Tangentenwinkel der Kurve im Punkt t verstanden. Dann
folgt aus (67) a(ll (69)
y =, (69)
und hieraus nach (68)
x a ( + 2q + 3q)q,
und somit
X =(q + 4 _ log q) + b. (70)
Die Gleichungen (69) und (70) stellen das allgemeine Integral der
Euler'schen Differentialgleichung dar, wenn man darin noch q durch
eine solche Funktion von t ersetzt, für welche die Bedingung (66)
erfüllt ist.
Die allgemeinste Extremale geht also aus der speziellen Kurve
X = qa + q4 - log q = X(q),
4If Cq2 Y (71)
y = +q 3_ y(q)
1) Vgl. die analoge Bemerkung auf p. 34.
) Schon von NEWTON angegeben, loc. cit.
8) Dieselbe ist zuerst von L'HosPITsL ausgeführt worden (1699), etwas später
und unabhängig davon von JOHANN BERNOULLI, vgl. des letzteren Opera Omnia,
Bd. I, pp. 307, 311, 315.