Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 54. Der Rotationskörper kleinsten Widerstandes. 409
erfährt, (abgesehen von einem von der Gestalt der Kurve AB unabhängigen numerischen Faktor) das bestimmte Integral
t2
J x + y2 t (63)
to
Aus physikalischen Gründen kann man schließen1), daß man sich
dabei auf Kurven AB zu beschränken hat, für welche x' 0 und
y' - 0. Daher formulieren wir nunmehr unsere Aufgabe analytisch
folgendermaßen:
Das Integral (63) soll zu einem Minimum gemacht werden in Beziehmng auf die Gesamtheit aller gewöhnlichen Kurven, welche vom
Koordinatenanfangspunkt A nach einem egeebenen Punkt B im nInneren
des ersten Quadranten gezogen werden können, und welche iberdies der
Gebietsbeschränkung
y>O für to<t t,2 (64)
entstehenden Kreisflache hindurchgehen. Dann hat die Resultante der Stöße,
welche der Rotationskörper in der Zeiteinheit erfährt, d. h. eben der Widerstand,
den Wert
nf sin2 Odo,
wenn dco ein Element dieser Kreisfläche ist. Indem man in letzterer Polarkoordinaten mit dem Pol A einfihrt, kann man schreiben
dX == y dy dcp
und erhält so, da der Winkel 0 von qp unabhängig ist, den Widerstand durch
das bestimmte Integral
2 inf /sin2 0ydy
o
ausgedrückt, woraus sich durch Übergang zur Parameterdarstellung die obige
Formel (63) ergibt.
Die Newton'schen Hypothesen und die daraus gezogenen Folgerungen
werden übrigens durch das Experiment nicht bestätigt, vgl. darüber Encyclopädie,
IV C, (Finsterwalder), p. 164.
Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 42, 43 am Ende von Kap. IX.
1) Diese wichtige Bemerkung hat zuerst AUGUST gemacht, Journal fir
Mlathematik, Bd. 103 (1888), p. 1. Wäre x'< 0 für Teile der Kurve AB, so
würden in der Oberfläche des Rotationskörpers "trichterförmige oder ringförmige
Vertiefungen entstehen, bei denen ein wiederholtes Anprallen der Luftteilchen
unvermeidlich wäre, was eine bedeutende Vermehrung des Widerstandes zur
Folge hätte." Wäre y'<0, so würden luftverdünnte Räume entstehen, welche
ebenfalls den Widerstand vermehren würden. Die mathematischen Folgerungen,
welche August aus diesen physikalischen Bemerkungen zieht, sind übrigens in
wesentlichen Punkten falsch.