Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

406 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
wobei die Funktion 7(t, a) für die Schar (53) durch die Gleichung
(83) von ~ 27 definiert ist.
Da das Integral J"o von t und a unabhängig ist, so erhalten
wir zunächst a (
a t F(t a) ((59)
und weiter unter Benutzung der Lagrange'schen partiellen Integration
aa F(X (a), (a), X(a), J (a)) + [i,(, a) c,(t, a) + F(t, a) (t, a)].
Nun folgt aber aus den Relationen (54) und (55) unter Benutzung
der Homogeneitätsrelation für F:
(o, a) pa (o, a) + Y,)(O, a)a(0,, a)= F(((a), y(a), X'(a), '(aW));
also kommt
a _ F,(ta) p (t, a) + 5Fy,(t, a)4P (t, a). (60)
Wir erhalten also für die partiellen Ableitungen von u dieselben
Ausdrücke wie bei einem gewöhnlichen Feld'), und daraus folgt dann
weiter, wenn wir von den Variabeln t, a zu den Variabeln x, y übergehen, daß auch für die partiellen Ableitungen von W nach x und y
dieselben Formeln gelten wie früher, d. h. eben die Hamilton'schen
Formeln.
Die Definition (58) des Feldintegrals dehnen wir auch auf den
Fall aus, wo der Punkt P9 auf der Kurve G liegt, indem dann einfach
der Punkt P9 mit Ps zusammenfällt, weshalb in (58) das letzte Glied
= — 0 zu setzen ist.
Die nunmehr für das ganze Feld 9L eindeutig definierte Funktion
W ist stetig im ganzen Feld, und es gelten für ihre partiellen Ableitungen die Hamilton'schen Formeln in allen Punkten von 9l mit
einzig möglicher Ausnahme der Punkte der Kurve (, in denen die
Existenz der partiellen Ableitungen fraglich wird.
Wir ziehen jetzt vom Punkt P, nach dem Punkt P, irgendeine
gewöhnliche Kurve %, welche ganz im Feld lt gelegen ist; sie möge
durch die Bogenlänge s als Parameter dargestellt sein.
Dann können wir die Weierstraß'sche Konstruktion in folgender
Weise anwenden: Ist P, irgendein Punkt von (, so definieren wir
die Funktion S(s9) = W(x~9, y) + J92. (61)
Die Funktion S(s9) ist stetig entlang G, und es ist
______aJ J -j 342 = - [S(s2) - S(s)].
1) Vgl. die Gleichungen (144) und (146) von ~ 31.