Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 53. Hinreichende Bedingungen. 401
so können wir nach ~ 52, a) die Bedingung (50) auch schreiben.- > 0. (52)
r r
Der Beweis von Bliss, bei dessen Darstellung') wir übrigens
hier nicht auf alle Einzelheiten eingehen können, gründet sich einerseits auf die Konstruktion eines zusammengesetzten Feldes, das aus
der Schar von Extremalen durch einen Punkt Po auf der Fortsetzung
des Bogens PP,3 über P1 hinaus und aus der Schar von Extremalen,
welche den Bogen P3P4 berühren, gebildet wird, andererseits auf
die Ausdehnung des Weierstraß'sehen Fundamentalsatzes auf ein
solches Feld.
a) Die Schar von Extremalen, welche die Grenzkurve berühren:
Aus der Ungleichung (51) folgt nach ~ 27, a), daß wir durch
jeden Punkt P(a) der Grenzkurve
x == x (a), y = (a), A a a < A4
eine und nur eine Extremale (a konstruieren können, welche die
Kurve ( im Punkt P gleichsinnig berührt. Wir können den analytischen Ausdruck derselben sofort mit Hilfe der Funktionen X3, )
von ~ 27, b) hinschreiben, nämlich
x = (t; (), xa (a), 0 (a) = p (t, a), y/ = (t; (a), (a), O (ac))= (t, a). (153)
Dabei bedeutet t die Bogenlänge der Extremalen Fa, gemessen
vom Punkt P an, und 0(a) den Tangentenwinkel der Kurve ( im
Punkt P, so normiert2), daß 0(a) eindeutig und stetig ist entlang
(. Aus den Existenztheoremen über Differentialgleichungen folgt,
daß sich eine positive, von a unabhängige3) Größe 1 angeben läßt
derart, daß die Extremale Ca mindestens im Intervall: \ t < l1 existiert.
Lassen wir a variieren, so erhalten wir so eine Schar von Extremalen, welche die Kurve ( berühren, und welche durch die Gleichungen
(53) dargestellt sind.
Die Funktionen 9p, 4 genügen folgenden Anfangsbedingungen:
q (0,a) =(a), i(0, a) (a),
q)t(O, a) -- '(a, (54)
_,(0, a) t=(a), ~)t(O,a) ' (a),
1) Wir weichen dabei darin von Bliss ab, daß wir den Beweis direkt für
das Problem in Parameterdarstellung geben, während Bliss die Aufgabe zuerst
für den speziellen Fall des x-Problems löst und dann den allgemeinen Fall der
Parameterdarstellung mittels einer Punkttransformation der Ebene auf jenen Fall
zurückführt.
2) Vgl. ~ 34, Gleichung (1732). s) Vgl. ~ 23, a), Zusatz.