Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 52. Randbedingungen bei Problemen mit Gebietseinschränkungen. 399
so ist die Bedingung (44) für das Segment P, P4 erfüllt; und da
8(x, y; cos 0, sin 0; cos 0, sin ) = (1- cos (0 - )) y,
so sind auch die Bedingungen (46) und (47) in den Übergangspunkten PS und
P4 erfüllt.
Diese diskontinuierliche Lösung ist zuerst von GOLDSCHMIDT 1) bemerkt
worden (1831). TODHUNTER2) hat bewiesen, daß die gebrochene Linie P1P, P4 P2
stets ein starkes relatives Minimum liefert. Nimmt man nämlich auf der Geraden
P1 P8 einen Punkt P an und schneidet dann auf einer beliebigen von Pl ausgehenden rektifizierbaren Kurve einen Bogen P1 Q gleich P PPI ab, so ist, wie
man leicht zeigt, die Ordinate MQ des Punktes Q größer als P8P, es sei denn,
daß der Bogen P, Q mit dem geraden Segment P1 P identisch ist.
Daraus folgt: Ist L irgend eine von der Goldschmidt'schen Lösung verschiedene zulässige Kurve von P1 nach P2, deren Länge 5> P8 P1i - P4 P, so liefert
die Goldschmidt'sche Lösung einen kleineren Wert für (das Integral J, als die
Kurve e.
Zum Beweis schneide man auf der Kurve li von P1 aus einen Bogen P1 Q1
gleich | P P P1 und von P2 aus einen Bogen P, Q2 gleich 1 Po4 P ab und wende
das obige Lemma an.
Schließlich kann man leicht eine Umgebung der diskontinuierlichen Lösung
P P 14 PP angeben, derart, daß für alle in derselben verlaufenden zulässigen
Kurven die obige Ungleichung für die Länge erfüllt ist, womit bewiesen ist, daß
die Goldschmidt'sche Lösung in der Tat stets ein relatives Minimum für das
Integral J liefert.
Die diskontinuierliche Lösung liefert eine wichtige Ergänzung unserer
früheren Resultate über kontinuierliche Lösungen (p. 81). Bezeichnen wir nämlich mit I und II dieselben beiden Bereiche wie auf p. 81 (siehe Fig. 12), so
haben wir früher gesehen, daß nach einem Punkt PS im Innern des Bereiches II
keine Kettenlinie mit der x-Achse als Direktrix gezogen werden kann. Hier ist
also die diskontinuierliche Lösung die einzige mögliche Lösung. Dasselbe gilt,
wenn der Punkt P2 auf der Enveloppe E liegt, da die Kettenlinie P, Pg nach
~ 47, d) kein Minimum liefert.
Liegt dagegen der Punkt P2 im Innern von I, so haben wir zwei Lösungen,
welche jede ein relatives Minimum liefert: eine Kettenlinie und die diskontinuierliche Lösung.
Mit diesen beiden Lösungen sind zugleich alle möglichen Lösungen des
Problems, das Integral
J= ylx'2+y'2dt
tl
zu einem relativen Minimum zu machen, erschöpft, wenn wir die trivialen Fälle:
x___ _ -xx2i, y=0O, y2==1) Siehe das Zitat auf p. 81, Fußnote 2).
S) Researches in the Calculus of Variations, p. 60, vgl. auch MARY E. SINCLAIR,
Annals of Mathematics (2) Bd. IX, p. 151.
26 *