Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

398 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
und nicht in das Innere W der geschlossenen Kurve ~ eindringen, die kürzeste
zu finden.
Hier ist F_= x' -- y-'. Der Bereich 9t besteht hier aus der ganzen Ebene
mit Ausschluß des Bereiches eß. Die gesuchte Kurve muß aus geradlinigen Segmenten und aus Segmenten der Kurve ( bestehen. Die letzteren dürfen nicht
konkav nach au/ßen sein, da im gegenwärtigen Fall - 0 und somit die Be1 1.
dingung (45) lautet: -- 0 oder ->0, je nachdem der Bereich 91 zur Linken
oder Rechten des betreffenden Segmentes liegt.
Da das Problem regulär ist, so müssen die geradlinigen Segmente die
Kurve ( in den Übergangspunkten berühren.
2 2
4.
3
1 Pig. 89. Fig. 90.
Beispiel I: (Siehe pp. 1, 33, 79) F=-yx'=/~ y' 2.
Der Bereich 1t ist die obere Halb-Ebene: y 0; die Grenzkurve also die
x-Achse. Die zulässigen Kurven sind die Gesamtheit aller gewöhnlichen Kurven,
die in diesem Bereich von P1 nach P2 gezogen werden können. Bei der Behandlung des Problems in Parameterdarstellung treten außer den schon früher
gefundenen Kettenlinien
y = oc Ch ( > 0)
als weitere Extremalen noch die Geraden
~~~~auf. x=- konst'
auf.
Da die Kettenlinien die x-Achse nie treffen, so ist die einzige mögliche
Lösung, welche ein Segment der x-Achse enthält, die aus den Ordinaten PiP,.
P4 2P der beiden Punkte Px, P, und dem sie verbindenden Segment P P4 der:
x-Achse zusammengesetzte Kurve. Da entlang der x-Achse
T --- 1