Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

396 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
entgegengesetzten Seite der Tangente liegen wie M (wenn nämlich
r > 0), oder aber (Fig. 87) auf derselben Seite, aber jenseits M (oder
mit 1M zusammenfallen). \ e
In allen Fällen
muß also die Extre-
male ( in der Umgebung \
des Punktes P ganz im \\ /
Bereich 9q liegen, ein
Resultat, das sich nach l
den Existenztheoremen /
von ~ 33 a priori er-
warten läßt.g.. i
Im Fall des Maxi-
mums (statt Minimums) sind die Zeichen ~ in < umzukehren.
b) Die Weierstraß'sche Bedingung in den Übergangspunkten:
Neben der Bedingung (44), die entlang dem Bogen P3P4 erfüllt
sein muß, ergibt sich aus der Betrachtung der ersten Variation noch
je eine Bedingung für die Punkte P, und P4, in welchen die gesuchte
Kurve die Begrenzung C( von 3q trifft, resp. verläßt.
Die Grenzkurve G sei durch die Gleichungen: x^ =x(a), y- (c), A3<a <A4
dargestellt und in ihrer ganzen Ausdehnung von der Klasse C". Die
Punkte P3 und P, mögen den Werten a = a3 und a = a4 entsprechen,
und es sei A < a <a < A.
Um die Bedingungen in P, zu erhalten, beachten wir, daß die
Funktion t
3(x, y1, (a), (a)) + FF(i(ac), y(a), '(a), g'(a))da
cct
für a = aC ein Minimum besitzen muß, was auf Grund der Formeln (18)
von ~ 37 sofort zu der Weierstra ß'schen Bedingung') führt:
Im Übergangspunkt P3 muß die Bedingung
8(x3, y3; P, q3; I )), q3) = 0 (46)
erfüllt sein, wobei p3, q3 und _3, q3 die Richtungskosinus der positiven
Tangenten im Punkt P3 an die Extremale P P3, beziehungsweise an
die Kurve ( bedeuten.
1) WEIERSTRASS, Vorlesungen, 1879. Vgl. die Ubungsaufgabe Nr. 33 am Ende
von Kap. IX.