Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 52. Randbedingungen bei Problemen mit Gebietseinschränkungen. 395
frühere Problem zurück. Es muß daher im Punkt P die Ungleichung
(42) erfüllt sein, aus welcher mit Hilfe der Gleichungen (16) und
(23) des fünften Kapitels die Weierstra3'sche Rlandbedinunug) fiir
ein Minimum für den Fall der Parameterdarstellung folgt:
1' < 0 (> 0), (44)
wenn der Bereich 3j zur Linken (Rechten) des Bogens P3 P liegt;
dabei bedeutet T den Ausdruck (23a) von ~ 26, berechnet für die
Kurve S.
Wenn entlang dem Bogen P3P4 der Kurve ( die Funktion F1
positiv ist, so gestattet das vorangegangene Resultat eine einfache
geometrische Deutung: Alsdann können wir nämlich nach ~ 27, a) durch
jeden Punkt P von P8 P4 eine und nur eine Extremale e konstruieren,
welche die Kurve K in P gleichsinnig2) berührt. Führen wir dann
in den Ausdruck für T die Krümmung 1/r von (S im Punkt P ein
und bezeichnen mit 1/r die Krümmung der Extremalen ( im Punkt
P, so können wir unter Benutzung von Gleichung (23b) von ~ 26
die Bedingung (44) auch schreiben:
i - 1 ) 1\w
r > ) (4r)
Für den Fall, wo t zur Linken des Bogens P34P, liegt, folgt
hieraus:
Wenn: r > 0, d. h. wenn der Vektor vom Punkt P nach dem
Krümmungsmittelpunkt M von E zur Linken3) der positiven Tangente
an (E in P liegt, so muß auch r positiv sein, \
und der Krümmungsmittelpunkt M2 der Extremalen ( muß zwischen P und MI liegen h
(oder mit 2 zusammenfallen). (Fig. 85).
Wenn dagegen: r < 0, d. h. wellnn der
Vektor P M rechts von der positiven Tangente
liegt, so muß M1 entweder (Fig. 86) auf der
1) Von WEIERSTRASS direkt für den Fall der
Parameterdarstellung abgeleitet, Vorlesuingen 1879;
vgl. KNESi'R, Lehrbuch p. 177 und BOLZA, Lectures, Fig. 85.
~ 29, a). Zum obigen Beweis beachte man noch, daß nach Gleichung (39)
von ~ 45 die Größe T bei einer Drehung des Koordinatensystems invariant
bleibt.
2) D. h. so, daß die positiven Tangenten beider Kurven zusammenfallen
~) Vgl. p. 192.