Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

394 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
identisch Null in [xX1] und [x4x2], während in [X3.X4] nach der oben
gemachten Bemerkung: e(x) > 0 sein muß. Die Funktion r(x) darf
also in [X3X4] ihr Zeichen nicht wechseln; wählen wir: i(x) 0, so
darf somit die Konstante E nur positive Werte annehmen. Daher
können wir jetzt aus der Ungleichungl)
aJ= 8[J'(O) + (E)]- O
nicht iehr schließen: J'(0) = 0, sondern nur: J'(O) 0.
Nach Ausführung der partiellen Integration von ~ 5, a) erhalten
wir daher X
d^- ^x^, 0 (41)
wobei die Argumente von fy, f, sind x, y)(x), y'(x). Diese Ungleichung
muß erfüllt sein für alle Funktionen ~ der Klasse C', welche in x.
und x4 verschwinden und überdies der Bedingung
genügen.
Die in ~ 5, b) zum Beweis des Fundamentallemmas der Variationsrechnung angewandte Schlußweise führt jetzt zu dem Satz:
Wenn die Kurve, welche das Integral (40) zu einem Minimumn
macht, ein Segment P 1P4 mit der Begrenzung e des Bereiches 3 gemein
hat, dann muß entlang diesem Segment die Bedingung erfüllt sein
E. d -
fy - 0fy,, wenn g iiber P3 P4 liegt,
d - (42)
fy d- fy, 0, wenn 9g unter PS P4 liegt.
Das erhaltene Resultat läßt sich nun unmittelbar auf den Fall
übertragen2), wo das Integral
t2
J F(x, yx', y')dt (43)
zu einem Minimum zu machen ist, und wo sowohl die zulässigen
Kurven als die Kurve G in Parameterdarstellung gegeben sind.
Denn ist P irgendein Punkt des Bogens P3)4, so kann man
stets durch eine Drehung des Koordinatensystems erreichen, daß im
Punkt P: x'> 0. Dann läßt sich die Kurve ( in der Umgebung
von P in der Form y = - (x) darstellen, und man kommt auf das
1) In der Bezeichnung von p. 20; vgl. Gleichung (21) auf p. 21.
2) Vgl. die Bemerkungen am Ende von ~ 25, e).