Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 52. Randbedingungen bei Problemen mit Gebietseinschränkungen. 393
Ein Punkt von e0, dessen Abszisse x' ist, heißt frei variierbar
in Beziehung auf ein vorgelegtes Variationsproblem, wenn c(x') beliebige hinreichend kleine Werte annehmen darf; andernfalls heißt er
unfrei.
Bei einer Kurve, welche ganz im Innern von t liegt, sind beim
Problem mit festen Endpunkten alle Punkte mit Ausnahme der Endpunkte frei variierbar; und diese freie Variierbarkeit war bei den
Schlüssen von ~ 5 wesentlich. Anders verhält es sich bei einer Kurve,
welche Punkte mit der Begrenzung von 69 gemein hat. Der Einfachheit halber wollen wir voraussetzen, daß die Begrenzung von 9q,
auch "Schraanke" genannt, einen Bogen d enthält, welcher in der
Form:o y = y (x)
darstellbar und von der Klasse C" ist. Dieser Bogen E soll selbst
mit zu g gehören, und ebenso mögen alle Punkte, welche über1)
der Kurve C( und in einer gewissen Umgebung von ( liegen, zu 9t
gehören. Wenn dann die Kurve (o einen Punkt mit U gemein hat,
so ist die Variation dieses Punktes nicht mehr frei, sondern der Bedingung (x) 0
unterworfen.
Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir jetzt annehmen, die
Kurve o, welche das Integral J zu einem Minimum macht, setze sich
aus drei Stücken zusammen: aus 2
zwei Bogen P P, P P4P2, welche,
abgesehen von den Punkten P3 und 1 i
P4, ganz im Innern von 3r liegen, 'Ö /
und aus dem Segment PP4 der
Begrenzung ~ von R.,/
Dann zeigt zunächst die schon /
in ~ 48,a) benutzte Methode der //,;/
partiellen Variation, daß die beiden ///
~freienr Bogen PP1 und PP,2 // ////
Extremalen sein müssen. / ///
Sodann betrachten wir eine Pig. 84.
zulässige Variation von der speziellen Form
y = y(x) + %y(x),
bei welcher die beiden Bogen P, P und P4P2 ungeändert bleiben
und nur das Stück PsP4 variiert wird. Die Funktion (x) ist daher
1) Ein Punkt x, y liegt ~über" dem Bogen (, wenn y> (x).