Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

392 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
der Enveloppensatz von ~ 44, c) mit seinen Folgerungen auch hier
bestehen bleibt und andererseits der Weierstraß'sche Fundamentalsatz mit seiner Anwendung auf die Herleitung hinreichender Bedingungen.1)
~ 52. Randbedingungen bei Problemen mit Gebietseinschränkungen.
Bei unseren bisherigen Untersuchungen haben wir stets vorausgesetzt, daß die gesuchte Kurve ganz im Innern des Bereiches 3\
der x,y-Ebene liegen sollte, auf welchen die Vergleichskurven beschränkt waren.2) Es kann aber auch Lösungen unseres Variationsproblems geben, welche Punkte mit der Begrenzung des Bereiches,. gemein haben. Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, diese Lösungen
zu bestimmen; dabei wird sich zugleich eine neue Art von diskontinuierlichen Lösungen ergeben.
a) Die Weierstraß'sche Randbedingung:
Die hierzu nötigen Überlegungen gestalten sich besonders einfach
für die Aufgabe, das Integral
X2
J ff(x, y, y')dx (40)
unter den in ~ 3 aufgeführten Voraussetzungen zu einem Minimum
zu machen.
Dabei ist es bequem, von der Vorstellung einer punktweisen
Variation einer Kurve Gebrauch zu machen, welche in der älteren
Variationsrechnung eine wichtige Rolle gespielt hat:
Zwischen zwei Kurven.o: y y (x)
und
6: y = y(x) + c(x)
können wir eine ein-eindeutige Beziehung herstellen, indem wir je
zwei Punkte mit derselben Abszisse x sich entsprechen lassen; und
wir können uns vorstellen, daß die zweite Kurve aus der ersten durch
eine stetige Deformation entstanden ist, bei welcher jeder einzelne
Punkt sich nach einem bestimmten Gesetz entlang seiner Ordinate
bewegt, z. B. indem wir in
y(x) + c G)(X)
den Parameter a von 0 bis 1 wachsen lassen.
1) Hierzu die Übungsaufgabe Nr. 32 am Ende von Kap. IX.
2) Vgl. ~ 3, a) und ~ 25, b), insbesondere die Bemerkungen auf pp. 16, 17.