Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 51. Diskontinuierliche Variationsprobleme. 391
Man zeigt zunächst in bekannter Weise, daß die gesuchte Kurve
P PoP2, wobei Po den Schnittpunkt mit der Kurve Ü bedeutet, aus
einem Extremalenbogen P1 PO für das Integral J
und aus einem Extremalenbogen PoP/ für das
Integral J bestehen muß, und daß für jeden der z
beiden Bogen die Bedingungen von LEGENDRE,
JACOBI und WEIERSTRASS erfüllt sein müssen.
Wir setzen dieselben in der stärkeren Form 3
(II'), (III'), (IVT') voraus.
Weiter ergibt sich dann zur Bestimmung
der Lage des Punktes Po auf der Kurve St
eine Bedingung, die man am einfachsten daraus
ableitet, daß die Funktion1)
(x y, Y, (a), I ()) + S(X(a) I (a), x2,)) g. i83.
als Funktion von a für a = ao ein Minimum besitzen muß, wenn die
Kurve R dargestellt ist durch die Gleichungen
Ö: x == x(C6), y == y(a)
und dem Punkt PO der Wert a = ao entspricht. Nach den Formeln
(18) von ~ 37 erhält man hieraus die "Eckenbedingung"
F,(Xo Yoop, qo)Po + Fy,(xo, YoPo, qO)0 = (
x, (X Y O J +p,(IO~ O~_P o(39)
yFo, qon po o)Po + FJ(X0, yvo, o q,);
dabei bedeuten p o, q; po, o; o, qo der Reihe nach die Richtungskosinus
der positiven Tangente an die Kurven PPo; P0oP; R im Punkt Po.
Es wird dann weiter die Extremalenschar (für das Integral J)
durch den Punkt P, betrachtet. Ist H eine dem Bogen PPo benachbarte Extremale dieser Schar und P3 ihr Schnittpunkt mit r, so kann
man stets von P, aus eine Extremale E (für das Integral J) konstruieren, welche in P, mit ( die Eckenbedingung (39) erfüllt, vorausgesetzt, daß der Extremalenbogen PoP2 die Kurve R im Punkt PO
nicht berührt.
Man erhält so ganz ähnlich wie in ~ 49 eine zur Extremalenschar durch P, "komplementäre Extremalenschar", welche mit jener
zusammen eine Schar von "gebrochenen Extremalen" bildet. Für diese
letztere Schar gelten dann wieder die Formeln (144) und (146) von
~ 31 für die partiellen Ableitungen der Funktion u(t, a), da die wegen
der Unstetigkeit an der Kurve S neu auftretenden Glieder sich infolge
der Eckenbedingung (39) wegheben. Daraus folgt dann, daß einerseits
) Vgl. ~ 37, b).