Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

388 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
Weiter folgt noch, daß, wenn no =H 0, die 8-Funktion beim Durchgang durch den Punkt Po auf der Extremalen @o stets ihr Zeichen
wechselt.
d) Der Ausnahmefall Q0 = 0:
Wenn S5o= 0, so können wir nicht mehr zu einer gegebenen Extremalenschar (8) in eindeutiger Weise eine komplementäre Schar konstruieren, und damit wird die Theorie der konjugierten Punkte hinfällig. Trotzdem lassen sich
auch in diesem Fall hinreichende Bedingungen aufstellen.
Dazu betrachten wir allgemein (d. h. unabhängig von einer bestimmten
Voraussetzung über 0o) die folgende Aufgabe, welche bei CARATHEODORY (loc.
cit. ~ 6) den Ausgang der ganzen Untersuchung über Scharen gebrochener Extremalen bildet:
Fiür einen in der lNähe von PO gegebenen Punkt P(x,y) zwcei Richtungen
0, 0 zu bestimmen, welche der lWeiterstraßf'schen Eckenbedingtung (2a) genüigen.
Man zeigt leicht mittels des Satzes über implizite Funktionen, daß die Aufgabe unter unsern Voraussetzungen stets eine eindeutige Lösung besitzt, vorausgesetzt, daß die Ungleichung (23) erfüllt ist. Die beiden Richtungen seien
= (,(x, ), o (x, y).
Man kann dann nach ~ 27, a) eine gebrochene Extremale konstruieren, welche
im Punkt P ihre Ecke hat. Läßt man jetzt den Punkt P eine gegebene, durch
den Punkt PO gehende Kurve h beschreiben, so erhält man eine einparamzetrige Schar
von gebrochenen Extremalen, welche die Kutrve P, P PP enthält, und welche die
gegebene Kurve Ü( zur Eckenkurve hat. Man zeigt dann weiter, daß für diese
Schar
a (to, %a) + O, a (to, c.) + 0,
vorausgesetzt daß die Kurve ( im Punkt Po keinen der beiden Bogen P1 Po,P PoP
berührt. Daraus folgt, daß die Schar von gebrochenen Extremalen mit der gegebenen Eckenkurve CS wenigstens für die Umgebung des Punktes Po ein Feld
bildet. Für dieses gilt dann wieder der Weierstraß'sche Satz und die sich
daran knüpfenden Folgerungen. Man beachte, daß es bei dieser Ableitung nicht
nötig war, vorauszusetzen, daß no + 0.
Man kann sich nun weiter nach CARATHEODORY (loc. cit. ~ 8) die Aufgabe
stellen, eine Kurve zu konstruieren, welche die Eigenschaft hat, daß in jedem
ihrer Punkte die positive Tangentenrichtung mit der zu demselben Punkt gehörigen Richtung 0(x,y) übereinstimmt. Führt man die Bogenlänge als Parameter ein, so ist eine solche Kurve einfach durch die Differentialgleichungen
dx d y
= cos (0 (X, ), )), sin (0 (x, y)) (37)
ds ds
charakterisiert. Aus den Existenztheoremen über Differentialgleichungen folgt,
daß man durch jeden Punkt in der Umgebung von PO eine und nur eine solche
",-Kutrve" konstruieren kann. Es gibt also eine einfach unendliche Schar solcher
- Kurven.