Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 50. Hinreichende Bedingungen für diskontinuierliche Lösungen. 387
Nun ist nach (3): 8(s,0o) = 0; ist daher h eine kleine positive
Größe, so ist
8(so -, 00) = - o + h(h);
also schließen wir: Wenn auf dem Bogen PPo die Weierstra/ß'sche
Bedingung (IV) für ein Minimum erfüllt ist, so muß
sein.
Zugleich ergibt sich aus der Gleichung (36) ein einfacher Beweis')
des folgenden Satzes von CARATHEODORY:
Hört eine kontinuierliche Extremale o in einem Punkt P, auf
stark zu sein, so gibt es eine durch den Punkt Po gehende Richtung 00,
welche zusammen mit der Tangentenrichtung 00 der Extremalen (o der
Weierstr a3 schen Eckenbedingung genügt.
Denn unsere Voraussetzung sagt aus, daß, (So- h, 0) > o
für alle hinreichend kleinen positiven Werte von h und für beliebige
Werte von 0, daß diese Ungleichung aber nicht mehr für alle Werte
von 0 stattfindet für h= 0. Dabei ist die Funktion 8, (s, ) aus der
Funktion 8, von ~ 32, b) in derselben Weise abgeleitet wie 8(s, 0)
aus der 8-Funktion. Überdies wird angenommen, daß auch noch im
Punkt Po die Legendre'sche Bedingung in der stärkeren Form F, >0
erfüllt ist.
Nach dem Vorzeichensatz für stetige Funktionen schließt man
dann aus dem ersten Teil unserer Voraussetzung, daß 81(so, 0) 0
sein muß für alle 0; aus dem zweiten Teil derselben folgt daher
daß es mindestens eine wegen Fr (so) > 0 von 00 verschiedene Richtung 0o
geben muß, für welche 8,(s0, 0)= 0; also ist auch: 8(s, 0) -0.
Daher ist
8(s - h, Oo + k) = - Qoh + 80(s, o0)k + ah + ßk,
wo a und ß mit h und k unendlich klein werden. Wäre nun:
8ö(S o, 0) == O, so könnte man h > 0 und k so wählen, daß: 8(s - h,
00 + k) < 0 ausfallen würde, was gegen unsere Voraussetzung verstößt.
Somit muß: 8ä(so, 00) = 0 sein, und damit ist nach (3) bewiesen, daß
die beiden Richtungen 0o, 00 in der Tat der Weierstraß'schen Eckenbedingung genügen.
1) Nach DRESDEN, ]OC. cit. p. 486.