Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 50. Hinreichende Bedingungen für diskontinuierliche Lösungen. 383
Zum Beweise nehme man an, es gäbe, wie klein auch k gewählt
werden möge, mindestens einen nicht auf ( liegenden Punkt, der
gleichzeitig zu of und e gehört. Alsdann läßt sich ganz ähnlich wie
in ~ 22, b) und d) zeigen, daß es dann in jeder Nähe des Punktes
PO Punkte geben müßte, die, ohne auf e zu liegen, gleichzeitig zu S
und of gehören. Letzteres ist aber nicht möglich, da bei der vorausgesetzten Lage der Geraden 00 alle Punkte von oj in der Nähe von
PO auf derselben Seite1) von d, alle Punkte von o' in der Nähe von
P, auf der entgegengesetzten
Seite von d liegen müssen.
Man erhält also das Resul-, 5
tat daß man die Größen h lh2, k/
so klein wählen kann, daß die
durch die Gleichungen (8) und
(15) definierte Beziehung zwischen /
dem Rechteck (33) und dessen /
Bild of+- feine ein-eindeutige ist.
Den Bereich eo+ - nennen wir /
dann ein Feld von gebrochenen 1/
Extremalen um die spezielle ge- Fig. 82.
brochene Extremale PP PP2.
Durch jeden Punkt des Feldes geht dann also eine und nur eine (kontinuierliche oder gebrochene) Extremale unserer Schar, für welche die
Bedingungen (33) erfüllt sind.In dem vorangegangenen Beweis sind wir von einer gegebenen
Schar von gebrochenen Extremalen ausgegangen und haben dann angenommen, daß die beiden Punkte P1, P2 zwischen den Punkten Q
und Q" liegen; Wir wollen jetzt umgekehrt von den beiden Punkten
P1 und P, als gegeben ausgehen und uns fragen, unter welchen Bedingungen wir die Kurve P1PoP2 mit einem Feld von der angegebenen
Art umgeben können.2) Es handelt sich also darum, ob wir den
Punkt Q so wählen können, daß P -< Q -< Pr, P-2< Q, und daß
gleichzeitig die Gerade 0o in den Eckenwinkel eintritt. Sobald dies
der Fall ist, so brauchen wir nur eine Extremalenschar (8) mit dem
Brennpunkt Q zu konstruieren (z. B. die Schar von Extremalen durch
Q); diese Schar zusammen mit ihrer komplementären liefert dann nach
dem vorigen ein Feld von gebrochenen Extremalen um die Kurve PE PO P2.
1) Um einen arithmetisch strengen Beweis zu erhalten, wären hier noch
mancherlei Einzelheiten zu beweisen, auf die wir jedoch nicht eingehen.
) Immer unter Festhaltung der Voraussetzungen (II') und (III') von ~ 48,b).
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