Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

382 Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen.
A(tao)+O, für < t to,
(t, ao)+0, für t,<t<t,.
Wir konstruieren jetzt in einer t, a-Ebene das Rechteck
t, - h] t < t + h2,!a - ao < k, (33)
wobei h7, h2, k positive Größen sind.
a= a+k Dasselbe wird durch
die Kurve
-— t — /e a._ -a= ao t t(a) (34)
- wobei t (a) dieselbe
= ao-k Bedeutung hat wie in
t = t- t = tt (aL t= - ~ ~ 49, a) - in zwei Teile
Fig. 80. zerlegt, die wir mit (C
und (l bezeichnen; im ersten ist t < t(a), im zweiten t > t(a).
Das Bild des Bereiches (9 in der x, y-Ebene mittels der Transformation (8) bezeichnen wir mit o, dasjenige des Bereiches (9 mittels
der Transformation (15) mit r Die Bereiche o und S haben das
Bild der Kurve (34), d. h. die Eckenkurve Z gemeinsam. Wir
machen noch die Annahme, daß die Kurve P1PoP2 keine vielfachen
Punkte besitzt. Dann folgt nach ~ 31, a) aus (32), daß sich die
positiven Größen hl, h2, k so klein wählen lassen, daß die Transformation (8) eine ein-eindeutige Beziehung zwischen aL und eo, und
>^O^ Q ^^ gleichzeitig die Transformation
(15) eine ein-eindeutige Bezieo2 ' \ Z *hung zwischen XC und eo de-~ Y / ' '. ~ '\ finieren, und daß überdies
/': /x ~/ \x"2 A(t,a)= 0O in C,
/ / / a\ I y^ A(t, a) + 0 in (9.
''./ Nig. 81. Dabei ist es immer noch möglich,
daß die beiden Bereiche oS und
sich teilweise überdecken, und dies tritt in der Tat auch stets ein,
wenn die Tangente an die Eckenkurve ( in Po außerhalb des Eckenwinkels1) liegt, (siehe Fig. 81). Wir setzen daher in der Folge voraus,
daß die Gerade 0o durch den Eckenwinkel geht. Unter dieser Voraussetzung läßt sich zeigen, daß die beiden Bereiche Vo und of außer der
Kurve ( keinen Punkt gemeinsam haben, wofern nur die Größen
h, h2, k hinreichend klein genommen werden.
1) Vgl. p. 376, Fußnote ).